Đáp án:

Câu 29. $C$

Câu 30. $A$

Câu 31. $C$

Giải thích các bước giải:

Câu 29. $DI=6cm;BC=10cm$

Vì $ID$//$BC$ (gt)

`=>\hat{IDB}=\hat{DBC}` (hai góc so le trong)

Mà $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`

`=>\hat{ABD}=\hat{DBC}`

`=>\hat{IDB}=\hat{ABD}`

`=>\hat{IDB}=\hat{IBD}`

`=>∆IBD` cân tại $I$

`=>BI=DI=6cm`

$\\$

Xét $∆ABC$ có $ID$//$BC$

`=>{AI}/{AB}={ID}/{BC}=6/{10}=3/5` (hệ quả định lý Talet)

`=>5AI=3AB`

`=>5AI=3(AI+BI)`

`=>5AI=3.(AI+6)`

`=>5AI=3AI+18`

`=>2AI=18`

`=>AI=9cm`

`=>AB=AI+BI=9+6=15cm`

Vậy đáp án $C$

$\\$

Câu 30. 

`\qquad AE=1/ 3 AD=>{AE}/{AD}=1/ 3`

`=>AD=3AE`

`=>AE+DE=3AE`

`=>DE=2AE=2. 1/ 3 AD=2/ 3 AD`

`=>{DE}/{AD}=2/ 3`

$\\$

Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $EF$

Xét $∆ABD$ có $EI$ //$AB$ 

`=>{EI}/{AB}={DE}/{AD}=2/ 3` (hệ quả định lý Talet)

`=>EI=2/ 3 AB=2/ 3 .1=2/ 3 cm`

$\\$

Xét $∆ABD$ có $EI$ //$AB$ 

`=>{BI}/{BD}={AE}/{AD}=1/ 3`  (định lý Talet)

$\\$

Xét $∆BDC$ có $IF$//$CD$

`=>{IF}/{DC}={BI}/{BD}=1/ 3` (hệ quả định lý Talet)

`=>IF=1/ 3 DC=1/ 3 .4=4/ 3cm`

`=>EF=EI+IF=2/ 3 +4/ 3=2cm`

Vậy đáp án $A$

$\\$

Câu 31. Hình thang $ABCD$ có hai cạnh bên $AB; CD$

`=>BC;AD` là hai cạnh đáy

`=>BC`//$AD$

$\\$

`\qquad {AM}/{AB}=5/3`

`=>{AM}/5={AB}/3={AM-AB}/{5-3}={BM}/2`

(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

`=>{BM}/{AM}=2/ 5`

$\\$

Xét $∆MAD$ có $BC$//$AD$

`=>{BC}/{AD}={MB}/{MA}=2/ 5` (hệ quả định lý Talet)

`=>2/{AD}=2/ 5=>AD=5`

Vậy đáp án $C$