`a)` Ta có `:` $\triangle$ $BAM$ cân tại $B ( BA = BM )$

`=>` $\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{M1}$

Mà $\widehat{BAM}$ $+$ $\widehat{A1}$ $= 90^o$

`=>` $\widehat{M1}$ $+$ $\widehat{A1}$ $= 90^o (1)$

Xét $\triangle$ $AHM$ vuông tại $H ($ vì $AH$ là đường cao của $\triangle$ $ABC )$  ta có $:$

$\widehat{M1}$ $+$ $\widehat{A2}$ $= 90^o ( 2$ góc nhọn phụ nhau $) (2)$

`=>` $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A2}$

`=> AM` là tia phân giác của $\widehat{HAC}$

`b)` Xét $\triangle$ $HAM$ và $\triangle$ $KAM$ ta có $:$

$\widehat{AHM}$ $=$ $\widehat{AKM}$ $= 90^o ($ vì $AH$ là đường cao của $\triangle$ $ABC ; MK$ $\bot$ $AC )$

$AM$ chung

$\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A2} ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $HAM$ $=$ $\triangle$ $KAM ( ch - gn )$

`=>` $\begin{cases} AH=AK\\HM=MK \end{cases}$

Vì `A in` trung trực của `HK ( AH = AK )`

Mà `M in` trung trực của `HK ( HM = MK )`

`=> AM in` trung trực của `HK`

`=> AM` `\bot` $HK$ 

`c)` Xét $\triangle$ $AIC$ ta có $:$

`KM` `\bot` $AI ($ vì $AM$ `\bot` $HK )$

`CI`  $\bot$ $AI ($ vì `I` là hình chiếu của `C` trên `AM )` 

Mà `KM nn CI = {M]`

`=> M` là trực tâm của $\triangle$ $AIC$ 

`=> AH , KM , CI` đồng quy

`d)` Xét $\triangle$ $MKC$ vuông tại $K ( MK$ $\bot$ $AC )$

`KC < MC ( cgv < ch )`

Ta có `: AC + AB = AK + AB + KC`

          `AH + BC = AH + BM + MC`

Mà `AK = AH (` vì $\triangle$ $HAM$ $=$ $\triangle$ $KAM )$

`AB = BM ( gt )$

`KC < MC`

`=> AK + AB + KC < AH + BM + MC`

`= AK + KC + AB < AH + BC`

`= AB + AC < AH + BC`

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to \widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ACM}$

Vì $BA=BM\to \Delta BAM$ cân tại $B$

$\to \widehat{BAM}=\widehat{BMA}$

$\to \widehat{BAH}+\widehat{HAM}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}$

$\to \widehat{HAM}=\widehat{MAC}$

$\to AM$ là phân giác $\widehat{HAC}$

b.Xét $\Delta AHM,\Delta AKM$ có:

$\widehat{MAH}=\widehat{MAC}=\widehat{MAK}$

Chung $AM$

$\widehat{AHM}=\widehat{AKM}(=90^o)$

$\to \Delta AHM=\Delta AKM$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AH=AK, MH=MK$

$\to A, M\in$ trung trực $HK$

$\to AM$ là trung trực $HK$

c.Ta có: $MK\perp AC, CI\perp AM, AH\perp CM$

$\to MK, AH, CI$ là đường cao $\Delta AMC$

$\to AH, KM, CI$ đồng quy

d.Ta có:

$AB+AC=BM+(AK+CK)=BM+AK+CK=BM+AH+CK<BM+AH+CM=BM+CM+AH=BC+AH$