Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta OAB,\Delta OMN$ có:

$OA=OM$ vì $O$ là trung trực $AM$

$\widehat{AOB}=\widehat{MON}$(đối đỉnh) 

$OB=ON$ vì $O$ là trung trực $BN$

$\to \Delta OAB=\Delta OMN(c.g.c)$

$\to AB=MN$

Xét $\Delta OPM,\Delta OAC$ có:

$OM=OA$

$\widehat{POM}=\widehat{AOC}$

$OP=OC$

$\to \Delta OPM=\Delta OCA(c.g.c)$

$\to PM=AC$

Xét $\Delta OAN,\Delta OMB$ có:

$OA=OM$

$\widehat{AON}=\widehat{BOM}$

$ON=OB$

$\to \Delta OAN=\Delta OMB(c.g.c)$

$\to AN=BM,\widehat{OAN}=\widehat{OMB}\to AN//BM\to AN//BC$

Xét $\Delta OAP,\Delta OMC$ có:

$OA=OM$

$\widehat{AOP}=\widehat{COM}$

$OP=OC$

$\to \Delta OAP=\Delta OMC(c.g.c)$

$\to AP=CM, \widehat{OAP}=\widehat{OMC}\to AP//CM\to AP//BC$

Vì $AN//BC, AP//BC\to N, A, P$ thẳng hàng

$\to PN=PA+AN=CM+MB=BC$

Xét $\Delta ONP,\Delta ABC$ có:
$MP=AC$

$MN=AB$

$NP=BC$

$\to \Delta MNP=\Delta ABC(c.c.c)$

b.Từ câu a $\to M, A, N$ thẳng hàng $\to đpcm$

   Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC\to AN=AP$

$\to A$ là trung điểm $MN$

c.Từ câu a ta có: $\Delta OAB=\Delta OMN\to \widehat{OAB}=\widehat{OMN}$

$\to AB//MN$

Mà $AB\perp AC\to MN\perp AC$

d.Vì $\Delta ABC$ có $AB=AC\to \Delta ABC$ cân tại $A$

         $M$ là trung điểm $BC$

$\to AM$ là trung trực $BC\to AM\perp BC$

Ta có: $NP//BC\to AM\perp NP$

            $A$ là trung điểm $NP$

$\to MA$ là trung trực $NP$