Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Kẻ $AH \perp BC$

$\Delta ABC$ cân tại $A (AB=AC)$

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}=30^\circ$

$\Delta AHB$ vuông tại $H$

$\Rightarrow HB=AB \cos \widehat{B}=3\sqrt{3} (cm)$

$\Delta ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow BC=2HB=6\sqrt{3} (cm)$

$b) \Delta ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM=5$

$\Rightarrow$ Độ dài cạnh huyền $BC=2AM=10$

TH1: $\widehat{B}=47^\circ$

$\Delta ABC, \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\\ \Rightarrow \widehat{C}=180^\circ-(\widehat{A}+\widehat{B})=43^\circ$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AB=BC\sin \widehat{C}=6,82, AC=BC\cos \widehat{C}=7,31$

TH2: $\widehat{C}=47^\circ$

Tương tự ta có $\widehat{B}=43^\circ, AB=7,31, AC=6,82$

$c) \Delta ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM=5$

$\Rightarrow$ Độ dài cạnh huyền $BC=2AM=10$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow AB.AC=AH.BC=40\\ \Rightarrow AB=\dfrac{40}{AC}$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\\ \Leftrightarrow \left(\dfrac{40}{AC}\right)^2+AC^2=BC^2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1600}{AC^2}+AC^2=100\\ \Leftrightarrow 1600+AC^4=100AC^2\\ \Leftrightarrow AC^4-100AC^2+1600=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} AC^2=80 \\ AC^2=20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} AC=4 \sqrt{5} , AB=2  \sqrt{5}\\ AC=2 \sqrt{5} , AB=4 \sqrt{5}\end{array} \right.\\ \circledast AC=4 \sqrt{5} , AB=2  \sqrt{5}\\ \sin \widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \widehat{B} \approx 63,43^\circ\\ \sin \widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \widehat{C} \approx 26,57^\circ\\ \circledast AC=4 \sqrt{5} , AB=2  \sqrt{5}$

Tương tự, $\widehat{C} \approx 63,43^\circ,  \widehat{B} \approx 26,57^\circ.$