Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta  ABH,\Delta ACI$ có:

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

$AB=AC$

$\widehat{BHA}=\widehat{AIC}(=90^o)$

$\to \Delta ABH=\Delta CAI$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BH=AI$

b.Ta có: $BH^2+CI^2=AI^2+CI^2=AC^2$ không đổi

c.Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, M$ là trung điểm $BC$

$\to AM\perp BC\to \Delta AMB$ vuông tại $M$

Mà $\widehat{MBA}=\widehat{ABC}=45^o$

$\to \Delta ABM$ vuông cân tại $M$

$\to MA=MB$

Xét $\Delta AIM,\Delta BHM$ có:

$MA=MB$

$\widehat{IAM}=\widehat{DAM}=90^o-\widehat{ADM}=90^o-\widehat{BDH}=\widehat{DBH}=\widehat{MBH}$

$AI=BH$

$\to \Delta AIM=\Delta BHM(c.g.c)$

$\to \widehat{AMI}=\widehat{BMH}, MI=MH$

$\to \widehat{HMI}=\widehat{BMH}+\widehat{BMI}=\widehat{AMI}+\widehat{BMI}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to \Delta MHI$ vuông cân tại $M$

$\to\widehat{MIH}=45^o=\dfrac12\widehat{DIC}$

$\to IM$ là phân giác $\widehat{HIC}$

$\to IM$ là phân giác $\widehat{DIC}$