` a) ` Xét ` ΔABM ` và ` ΔKBM ` ta có:

` BK=BA(g//t) `

` BM ` chung

` \hat{ABM}=\hat{KBM}(BM ` là tia phân giác của ` \hat{ABC}) `

` =>ΔABM=ΔKBM(c.g.c) `

` b)ΔABM=ΔKBM(cma) `

` =>\hat{A}=\hat{K}( ` Hai cạnh tương ứng ` ) ` mà ` \hat{A}=90^o=>\hat{K}=90^o `

` MA=MK( ` Hai cạnh tương ứng ` ) `

Xét ` ΔMAE ` và ` ΔMKC ` ta có:

` MA=MK(cmt) `

` \hat{MAE}=\hat{MKC}=90^o(cmt) `

` \hat{AME}=\hat{KMC}( ` Hai góc đối đỉnh ` ) `

` =>ΔMAE=ΔMKC(ch-gn) `

` =>ME=MC( ` Hai cạnh tương ứng ` ) `

` =>ΔMEC ` cân tại ` M `

` c)ΔMAE=ΔMKC(cmb) `

` =>AE=KC( ` Hai cạnh tương ứng ` ) ` và ` BK=BA(g//t) `

` =>AE+BA=KC+BK `

` =>BE=BC `

` =>ΔBCE ` cân tại ` B `

` ΔABC ` vuông tại  ` A ` nên ` \hat{B}+\hat{C}=90^o `

` =>\hat{B}+30^o=90^o `

` =>\hat{B}=60^o ` 

` =>\hat{BCE}=\hat{BEC}=(180^o-60^o)/2=(120^o)/2=60^o `

` =>ΔBCE ` đều

` d) ` Xét ` ΔABC ` và ` ΔAEC ` ta có:

` \hat{BAC}=\hat{EAC}=90^o `

` AC ` chung

` BC=EC(ΔBEC ` đều ` ) `

` =>ΔABC=ΔAEC(ch-cgv) `

` =>AB=AE `

` =>A ` là trung điểm của ` BE `

` =>AB=AE=(BE)/2 ` mà ` AE=KC(ΔMAE=ΔMKC)(cmb) ` và ` BE=EC(ΔBEC ` đều ` ) `

` =>KC=AE=(EC)/2 `

` EK⊥AN ` tại ` K ` và ` EK⊥BC ` tại ` K `

` =>AN////BC `

` \hat{EAN}=\hat{ANE} `

` =>ΔANE ` cân tại ` E ` mà ` ΔABC=ΔAEC `

` =>NE=AE=(AB)/2 ` mà ` AE=BK(cma) `

` =>NE=BK `

Mà ` BC=EC(ΔBEC ` đều ` ) ` 

` =>BC-BK=EC-NE `

` =>CK=CN ` mà ` \hat{KCN}=60^o(ΔABC=ΔAEC =>\hat{ACB}=\hat{ACE} ` mà ` \hat{ACB}=30^o=>\hat{ACB}+\hat{ACE}=\hat{KCN}=30^o+30^o=60^o) `

` =>ΔCNK ` đều ` =>\hat{CKN}=60^o ` mà ` ΔBEC ` đều ` =>\hat{EBC}=60^o `

` =>\hat{CKN}=\hat{EBC}=60^o `

` =>KN////AE( ` Hai góc đồng vị ` ) ` mà ` AC⊥AE ` tại ` A `

` =>KN⊥AC `

`a)` Xét $\triangle$ $ABM$ và $\triangle$ $KBM$ ta có $:$

$AB = BK ( gt )$

$\widehat{ABM}$ $=$ $\widehat{KBM}$ $($ vì $BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ $)$

$BM$ chung

`=>`  $\triangle$ $ABM$ $=$ $\triangle$ $KBM ( c - g - c )$

`b)` Ta có `:` $\widehat{BAM}$ $=$ $\widehat{BKM}$ $($ vì  $\triangle$ $ABM$ $=$ $\triangle$ $KBM )$

Mà $\widehat{BAM}$ $= 90^o$

`=>` $\widehat{BKM}$ $= 90^o$

`=>` $MK$ $\bot$ $BC$

Xét $\triangle$ $MAE$ và $\triangle$ $MKC$ ta có $:$

$\widehat{MAE}$ $=$ $\widehat{MKC}$ $= 90^o ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A ; MK$ $\bot$ $BC )$

$AM = MK ($ vì $\triangle$ $ABM$ $=$ $\triangle$ $KBM )$

$\widehat{AME}$ $=$ $\widehat{KMC}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

`=>` $\triangle$ $MAE$ $=$ $\triangle$ $MKC ( cgv - gnk )$

`=> ME = MC ( 2` cạnh tương ứng $)$ 

`=>` $\triangle$ $MEC$ cân tại $M ( dhnb )$ 

`c)` Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$ ta có $:$

$\widehat{ABC}$ $+$ $\widehat{ACB}$ $= 90^o ( 2$ góc nhọn phụ nhau $)$

`=>` $\widehat{ABC}$ $= 90^o -$ $\widehat{ACB}$ $= 90^o - 30^o = 60^o (1)$

Ta có `: AB = KB ( cmt )`

Mà `AE = KC (` vì $\triangle$ $MAE$ $=$ $\triangle$ $MKC )$

`=> BE = BC`

`=>` $\triangle$ $BEC$ cân tại $B ( dhnb ) (2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=>` $\triangle$ $BEC$ đều $( dhnb )$

`d)` Ta có `:` $\triangle$ $BEC$ cân tại $E ($ vì $\triangle$ $BEC$ đều $)$

Mà `EK` $\bot$ $BC ($ vì $MK$ $\bot$ $BC )$

`=> EK` đồng thời là đường trung tuyến của $\triangle$ $BEC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

Vì `EH` $\bot$ $AN ( AH$ $\bot$ $EM )$

`=>` $\triangle$ $AEN$ cân tại $E ( dhnb )$

`=> AE = EN (3)`

`BM nn EC = {N}`

Vì $\triangle$ $BEC$ cân tại $B ($ vì $\triangle$ $BEC$ đều $)$

Mà `BM` là tia phân giác của $\widehat{ABC} ( gt )$

`=> BN` đồng thời là đường trung tuyến của $\triangle$ $BEC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=> N` là trung điểm của `EC`

`=> EN = NC (4)`

Từ `(3) ; (4) => AE = NC ( = EN )`

Mà `AE = CK ( cmt )`

`=> CK = NC ( = AE )`

`=>` $\triangle$ $CNK$ cân tại $C ( dhnb )$

Mà $\widehat{BCE}$ $= 60^o ($ vì $\triangle$ $BEC$ đều $)$

`=>` $\triangle$ $CNK$ đều $( dhnb )$

`=>` $\widehat{CKN}$ $= 60^o$

`=>` $\widehat{CKN}$ $=$ $\widehat{BEC}$ $( = 60^o )$
Mà `2` góc này ở vị trí đồng vị

`=>` $NK // EB ( dhnb )$

`=` $NK // AE$

Mà $AE$ $\bot$ $AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A )$

`=>` $NK$ $\bot$ $AC ($ Quan hệ từ $\bot$ đến $// )$