`a)`

Xét `ΔABM` vuông tại `A` ta có:

        `BM^2=AB^2+AM^2`(định lý Py-ta-go)

     `⇒BM=\sqrt{AB^2+AM^2}`

     `⇒BM=\sqrt{8^2+6^2}`

     `⇒BM=10(cm)`

Xét `ΔBAM` và `ΔAHM` có:

       `hat{BAM}=hat{AHM}=90^o`

           `hat{M}:chung`

`⇒ΔBAM`$\backsim$`ΔAHM(g.g)`

`⇒(AB)/(AH)=(BM)/(AM)`

`⇒AH=(AB.AM)/(BM)`

`⇒AH=(8.6)/10`

`⇒AH=4,8(cm)`

Xét `ΔABH` vuông tại `H` ta có:

        `AB^2=AH^2+BH^2`(định lý Py-ta-go)

     `⇒BH^2=AB^2-AH^2`

     `⇒BH=\sqrt{AB^2-AH^2}`

     `⇒BH=\sqrt{8^2-4,8^2}`

     `⇒BH=6,4(cm)`

Vậy `AH=4,8cm`

       `BH=6,4cm`

`b)`

Ta có:`hat{B_1}+hat{M_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

          `hat{A_1}+hat{M_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{B_1}=hat{A_1}`

Xét `ΔBHA` và `ΔAHM` có:

       `hat{B_1}=hat{A_1}(cmt)`

       `hat{BHA}=hat{AHM}=90^o`

`⇒ΔBHA`$\backsim$`ΔAHM(g.g)`

`⇒(BH)/(AH)=(AB)/(AM)`

`⇒(BH)/(AH)=(AB)/(AN)`

`⇒AH.AB=BH.AN(đpcm)`

`c)`

Vì `ABCD` là hình vuông

`⇒BC=AB`(tính chất hình vuông)

Mà theo câu `b)` ta có:`(BH)/(AH)=(AB)/(AN)`

`⇒(BH)/(AH)=(BC)/(AN)`

Ta có:`hat{A_2}+hat{B_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

          `hat{B_2}+hat{B_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{A_2}=hat{B_2}`

Xét `ΔBHC` và `ΔAHN` có:

      `hat{B_2}=hat{A_2}(cmt)`

      `(BH)/(AH)=(BC)/(AN)(cmt)`

`⇒ΔBHC`$\backsim$`ΔAHN(c.g.c)`

`⇒hat{H_3}=hat{H_1}(2` góc tương ứng)

Mà `hat{H_1}+hat{H_2}=90^o(g``t)`

`⇒hat{H_3}+hat{H_2}=90^o`

`⇒hat{NHC}=90^o(đpcm)`

`d)`

Theo câu `c)` ta có:`ΔBHC`$\backsim$`ΔAHN(c.g.c)`

`⇒(BH)/(AH)=(CH)/(NH)`

Hay `(BH)/(CH)=(AH)/(NH)`

Xét `ΔAHB` và `ΔNHC` có:

       `hat{AHB}=hat{NHC}=90^o`

       `(BH)/(CH)=(AH)/(NH)(cmt)`

`⇒ΔAHB`$\backsim$`ΔNHC(c.g.c)`

`⇒hat{B_1}=hat{C_1}(2` góc tương ứng)

Mà `hat{B_1}+hat{B_2}=90^o(g``t)`

        `hat{C_1}+hat{N_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{B_2}=hat{N_1}`

Xét `ΔINH` và `ΔIBC` có:

       `hat{N_1}=hat{B_2}(cmt)`

    `hat{I_1}=hat{I_2}(2` góc đối đỉnh)

`⇒ΔINH`$\backsim$`ΔIBC(g.g)(đpcm)`