Lời giải:

Bài 1:

Kẻ $MH$ vuông góc $d$ tại $H$

Trên tia đối của tia $HM$ lấy điểm $I$ sao cho $HI = HM$

$\Rightarrow I$ cố định

Ta có:

$HI = HM = \dfrac12MI$

$MI\perp d$

$\Rightarrow d$ là đường trung trực của $MI$

Ta lại có: $A\in d$

$\Rightarrow AM = AI$

Do đó:

$AM + AN \Leftrightarrow AI + AN$

Theo bất đẳng thức `3` điểm, ta được:

$AI + AN \geqslant NI$

$\Leftrightarrow AM + AN \geqslant NI$

Dấu $=$ xảy $\Leftrightarrow A$ nằm giữa $N$ và $I$

mà $A\in d$

nên $A$ là giao điểm giữa $NI$ và $d$

Vậy $MA + AN$ ngắn ngắn khi $A$ là giao điểm giữa $NI$ và $d$ với $I$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d$

Bài 2:

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

$BC < AB + AC$

$\Leftrightarrow BC < 5 + 9 = 14\ cm$

Ta lại có: $BC$ là số chính phương

$\Rightarrow BC\in\{1;4;9\}$

Với $BC = 1\ cm$

$\Rightarrow BC + AB =1 +5 = 6 < AC$ (loại)

Với $BC = 4\ cm$

$\Rightarrow BC + AB = 4 + 5 =9 = AC$ (loại)

Với $BC = 9\ cm$

$\Rightarrow \begin{cases}BC + AB = 9 + 5 = 14 > 9 = AC\\BC + AC = 9 +9 = 18 > 5 = AC\end{cases}$ (nhận)

Do đó: $BC= 9\ cm$

$\Rightarrow BC = AC$

$\Rightarrow \triangle ABC$ cân tại $C$