a)

Ta có: $\widehat{NMP}=\widehat{NPM}\,\,\,\left(\Delta{NMP}\text{ cân tại N }\right)$

Mà: $\begin{cases}\widehat{NMP}\text{ và }\widehat{NMA}\text{ là hai góc kề bù }\\\widehat{NPM}\text{ và }\widehat{NPB}\text{ là hai góc kề bù }\end{cases}$

Nên: $\widehat{NMA}=\widehat{NPB}$

Xét $\Delta NMA$ và $\Delta NPB$, ta có:

$\begin{cases}NM=NP\,\,\,\left(\Delta{NMP}\text{ cân tại N }\right)\\\widehat{NMA}=\widehat{NPB}\,\,\,\left(cmt\right)\\MA=PB\,\,\,\left(gt\right)\end{cases}$

$\to \Delta NMA=\Delta NPB\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to NA=NB\,\,\,\left(\text{ hai cạnh tương ứng }\right)$

$\to \Delta NAB\text{ cân tại N }$

b)

Vì $\Delta NMA=\Delta NPB\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to\widehat{MNA}=\widehat{PNB}\,\,\,\left(\text{ hai góc tương ứng }\right)$

$\to\widehat{MNH}=\widehat{PNK}$

Xét $\Delta NHM$ vuông tại $H$ và $\Delta NKP$ vuông tại $K$, ta có

$\begin{cases}NM=NP\,\,\,\left(\Delta{NMP}\text{ cân tại N }\right)\\\widehat{MNH}=\widehat{PNK}\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$

$\to \Delta NHM=\Delta NKP\,\,\,\left( ch-gn \right)$

$\to MH=PK\,\,\,\left(\text{ hai cạnh tương ứng }\right)$

c)

Vì $\Delta NHM=\Delta NKP\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to NH=NK\,\,\,\left(\text{ hai cạnh tương ứng }\right)$

$\to \Delta NHK\text{ cân tại N }$

$\to \widehat{NHK}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{ANB}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta NAB\text{ cân tại N}\,\,\,\left(cmt\right)$

$\to \widehat{NAB}=\dfrac{{{180}^{{}^\circ }}-\widehat{ANB}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \widehat{NHK}=\widehat{NAB}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

Vậy $HK\,//\,AB$