Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{cases}SA\perp BD\quad (SA\perp (ABCD))\\BD\perp AC\quad (gt)\\SA\cap AC=\{A\}\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (SAC)$

b) Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCA}$

Xét $\triangle SAC$ vuông tại $A$ ta được:

$\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SA}{AB\sqrt2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA}=\dfrac{a\sqrt6}{2a\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{(SC;(ABCD))}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

c) Ta có:

$\triangle SAB=\triangle SAD\, (c.g.c)$

$\Rightarrow SB = SD$

$\Rightarrow \triangle SBD$ cân tại $S$

Gọi $O$ là tâm của $ABCD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $BD$

$\Rightarrow SO\perp BD$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD)=BD\\SO\perp BD\quad (cmt)\\SO\subset (SBD)\\AC\perp BD\quad (gt)\\AC\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))}=\widehat{(SO;AC)}=\widehat{SOA}$

Xét $\triangle SAO$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{OA}=\dfrac{SA}{\dfrac{AB\sqrt2}{2}}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SOA}=\dfrac{2.a\sqrt6}{2a\sqrt2}=\sqrt3$

$\Rightarrow \widehat{SOA}= 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))}=60^\circ$

d) Ta có:

$\begin{cases}SA\perp BC \quad (SA\perp (ABCD))\\BC\perp AB\quad (gt)\\SA\cap AB=\{A\}\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$

Khi đó:

$\begin{cases}AH\perp SB\quad \text{(cách dựng)}\\BC\perp AH\quad (AH\subset (SAB))\\SB\cap BC=\{B\}\end{cases}$

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Xét $\triangle SAB$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có:

$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AH =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}}$

$\Rightarrow AH =\dfrac{a\sqrt6.2a}{\sqrt{6a^2 + 4a^2}}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow d(A;(SBC))=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$