Giải thích các bước giải:

 Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn $(C)$

Ta có:

Điểm $M(0;4)$ thuộc đường tròn $(C)$ 

Mà $0-4+4=0$ nên $M(0;4)\in \Delta _2$

$\to M(0;4)$ là tiếp điểm của đường thẳng $\Delta _2$ với đường tròn $(C)$

Ta có:

$IM$ đi qua $M(0;4)$ và nhận $\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = \left( {1;1} \right)$ làm vecto pháp tuyến

$\to $ Phương trình của $IM$ là: $1(x-0)+1(y-4)=0$ hay $IM:x+y-4=0$

$\to I(a;4-a)$

Lại có:

$(C) $ tiếp xúc với $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nên ta có:

$\begin{array}{l}
d\left( {I,{\Delta _1}} \right) = d\left( {I,{\Delta _2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a + 4 - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| {a - \left( {4 - a} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = R\\
 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {2a} \right|}}{{\sqrt 2 }} = R\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = 2\\
a =  - 2
\end{array} \right.\\
R = 2\sqrt 2 
\end{array} \right.
\end{array}$

+) TH1: $a=2$$\to I_1(2;2)$

Khi đó: Phương trình đường tròn là: $(x-2)^2+(y-2)^2=8$

+) TH2: $a=-2$$\to I_2(-2;6)$

Khi đó: Phương trình đường tròn là: $(x+2)^2+(y-6)^2=8$

Vậy 2 đường tròn cần tìm là: $\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8;\left( {{C_2}} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 8$