$(P) y =x^2 ; (d): y = x  + m - 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$

  $x^2 = x + m - 1 ⇔ x^2  - x  - m  + 1 =0 (1)$

có $Δ = (-1)^2 - 4(-m + 1)$

⇔ $\Delta = 1 + 4m - 4$

⇔ $\Delta = 4m - 3$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

 ⇔ $\Delta \geq 0$ hay $4m - 3 > 0 ⇔ m \geq \dfrac{3}{4}$

Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta có:

   $x_1 + x_2 = 1$

   $x_1x_2 = -m + 1$

a) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung

⇒ Pt (1) có hai nghiệm $x_1;x_2$ cùng dương

⇒ $x_1x_2 = -m + 1 >0$ ⇔ $-m  + 1> 0 ⇒ m < 1 $
Kết hợp với điều kiện của $m$ ta có $\dfrac{3}{4} \leq m < 1$

b) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thỏa mãn 

     $x_1 - x_2 = 5$

Ta phải tìm $m$ thỏa mãn $\begin{cases} m \geq \dfrac{3}{4} \\ x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 5 \\ x_1x_2 = -m + 1 \\\end{cases}$

Ta có$\begin{cases} x_1 + x_2 =  1 \\ x_1  - x_2 = 5 \\\end{cases}$

Giải hệ này ta có $(x_1;x_2) = (3;-2)$

⇒ $3(-2) = -m + 1 ⇔ -m  + 1 = -6 ⇔ m  = 7 (T/m)$

c) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt 

$\begin{cases} x_1 < 1 \\x_2 > 1 \\\end{cases}$

⇒ $\begin{cases} x_1 - 1 <  \\ x_2 - 1 > 0\\\end{cases}$

⇒ $(x_1 - 1)(x_2 - 1) < 0 $

⇔ $x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 < 0$

⇒ $-m  + 1- 1 + 1 <0$

⇔ $m > 1$ Kết hợp với điều kiện của $m$ ta có $m > 1$

d) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt 

 $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}  = 2(m \leq 1)$

⇒ $x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = 4$

⇒ $1 + 2\sqrt{-m+1} = 4$
⇔$\sqrt{-m + 1} = \dfrac{3}{2}$

⇒ $-m  + 1 = \dfrac{9}{4} (m \leq 1)$

⇔$ m = \dfrac{-5}{4} (Loại)$ 

Vậy không có $m$ thỏa mãn

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

     x² = x + m -1

⇔ x² - x - m + 1 = 0 (*)

Δ = (-1)² - 4·1·(-m+1)

   = 1 + 4m -4

   = 4m -3

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt ⇔ 4m - 3 > 0 ⇔ m > $\frac{3}{4}$

Vậy m > $\frac{3}{4}$ thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Với phương trình (*), theo viet, ta có:

$\left \{ {{x1 + x2 = 1} \atop {x1x2=-m+1}} \right.$

a, (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung ⇔ Phương trình (*) có nghiệm phân biệt cùng dương ⇔ $\left \{ {{Δ > 0} \atop {x1x2>0}; x1 +x2 >0} \right.$⇔$\left \{ {{4m-3>0} \atop {1>0 (luôn đúng); -m+1>0}} \right.$ ⇔$\left \{ {{m>\frac{3}{4}} \atop {m<1}} \right.$⇔ $\frac{3}{4}$ < m <1 

Vậy $\frac{3}{4}$ < m <1  thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt ở bên phải trục tung.

b, (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn x1 - x2 =5

⇔ ±√(x1 + x2)² -4x1x2 = 5

⇔±√1²-4·(-m+1) = 5

⇔±√1+4m-4 =5

⇔±√4m - 3 =5

⇔4m -3 = ±25 

⇔\(\left[ \begin{array}{l}4m-3=25\\4m-3=-25\end{array} \right.\) 

⇔\(\left[ \begin{array}{l}m=7\\m=-\frac{11}{2} \end{array} \right.\)

Vậy m =7; m = $\frac{-11}{2}$ thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn x1 - x2 =5

c, d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn x1 <1 ; x2>1 ⇔$\left \{ {{m>\frac{3}{4}} \atop {x1x2 ≤0}} \right.$ ⇔ -m+1≤0 ⇔-m ≤ -1 ⇔ m ≥ 1

Vậy m ≥ 1 thì d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn x1 < 1; x2 > 1

d, d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt √x1 + √x2 =2 ⇔(√x1 + √x2)² =4

⇔ x1 + 2√x1x2 + x2 = 4

⇔ 1 + 2√-m+1 =4

⇔2√-m +1 = 3

⇔√-m +1 = $\frac{3}{2}$ 

⇔-m+1 = $\frac{9}{4}$ 

⇔-m = $\frac{5}{4}$ 

⇔m= $\frac{-5}{4}$ (Ktmdk)

Vậy không có giá trị của m