Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CB}} = \dfrac{{HB}}{{AB}}\\
 \Rightarrow A{B^2} = BH.BC
\end{array}$

b) Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta BAK \sim \Delta BDA\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow A{B^2} = BK.BD\\
 \Rightarrow BH.BC = BK.BD\\
 \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BK}}{{BC}}
\end{array}$

Khi đó;

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Bchung\\
\dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BK}}{{BC}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AC = 6cm;AB = 8cm\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}}  = 10cm
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD;\widehat A = {90^0};AB = 8cm;AD = 15cm\\
 \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = 17cm\\
 \Rightarrow BK = \dfrac{{A{B^2}}}{{BD}} = \dfrac{{64}}{{17}}cm
\end{array}$

Mà $\Delta BHK \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{BHK}}}}{{{S_{BDC}}}} = {\left( {\dfrac{{BK}}{{BC}}} \right)^2} = \dfrac{{1024}}{{7225}}\\
 \Rightarrow {S_{BHK}} = \dfrac{{1024}}{{7225}}{S_{BDC}}
\end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
{S_{BDC}} = \dfrac{1}{2}BA.CD = \dfrac{1}{2}BA.\left( {AC + AD} \right) = 84c{m^2}\\
 \Rightarrow {S_{BHK}} = \dfrac{{1024}}{{7225}}.84 \approx 11,91c{m^2}
\end{array}$

Vậy ${S_{BHK}} \approx 11,91c{m^2}$

d) Ta có:

Xét tam giác $ABM$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}
MI \bot AB\left( {do:MI//AC} \right)\\
AH \bot MB\\
AH \cap MI = I
\end{array} \right.$

$\to I$ là trực tâm của tam giác $ABM$

$ \Rightarrow BI \bot AM$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {IAM} = \widehat {MAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {HAC}\\
\widehat {MAC} = \widehat {IMA}\left( {MI//AC} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \widehat {IAM} = \widehat {IMA}
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta IAM$ cân ở $I$

$\to IA=IM$

$\to I$ thuộc trung trực của $AM$

Mà $BI\bot AM$ $\to BI$ đồng thời là trung trực, và đường cao của tam giác $ABM$

$\to \Delta ABM$ cân ở $B$

$\to BI$ là phân giác góc $B$