a)

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ ( định lý Pi-ta-go )

$\to B{{C}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}=169$

$\to BC=13\,\,\,\left( cm \right)$

b)

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $B$ và $\Delta DBE$ vuông tại $B$, ta có:

$BE$ là cạnh chung

$AB=DB$ ( vì $B$ là trung điểm của $AD$ )

$\to \Delta ABE=\Delta DBE\,\,\,\left( cgv-cgv \right)$

c)

Xét $\Delta ABK$ vuông tại $K$ và $\Delta DBF$ vuông tại $F$, ta có:

$AB=DB$ ( vì $B$ là trung điểm của $AD$ )

$\widehat{ABK}=\widehat{DBF}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta ABK=\Delta DBF\,\,\,\left( ch-gn \right)$

$\to BK=BF$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to B$ là trung điểm của $KF$

Lời giải:

a) $\text{Áp dụng định lý Pytago vào Δ vuông ABC, ta được:}$

$ AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$ 

$ ⇒ 5^{2} + 12^{2} = BC^{2}$

$ ⇒ BC^{2} = 169$

$ ⇒ BC = 13$

b) $\text{Xét Δ vuông ABE và Δ vuông DBE có:}$

$\text{AB = DB ( B là trung điểm của AB )}$

$\text{BE cạnh chung}$

$\text{⇒ ΔABE = ΔDBE ( cạnh góc vuông - cạnh góc vuông )}$

c) $\text{Xét Δ vuông DFB và Δ vuông AKB có:}$

$\text{DB = AB ( B là trung điểm của AB )}$

$\text{∠DBF = ∠ABK ( hai góc đối đỉnh )}$

$\text{⇒ ΔDFB = ΔAKB ( cạnh huyền - góc nhọn )}$

$\text{⇒ FB = KB ( hai cạnh tương ứng )}$

$⇒ B$$\text{  là trung điểm của  }$$KF$