Giải thích các bước giải:

a.Gọi $O$ là trung điểm $AH\to O$ là tâm đường tròn đường kính $AH$

Ta có $\Delta ABC$ đều, $AH\perp BC\to AH$ là phân giác $\hat A$
$\to \widehat{BAH}=\widehat{HAC}$

$\to\widehat{MAH}=\widehat{HAN}$

$\to H$ nằm giữa cung $MN$

$\to OH\perp MN$

$\to AH\perp MN$

$\to MN//BC$

b.Ta có $AH$ là đường kính của $(O)\to HM\perp AM\to HM\perp AB$

Mà $AH\perp BC\to AH\perp HB$

$\to BH^2=BM.BA$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c.Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh $a, AH\perp BC$

$\to AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

d.Ta có $S_{\Delta ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ta có $AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to AH$ là phân giác $\widehat{MAN}$

Mà $AH\perp MN$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

Lại có $\hat A=60^o\to \Delta AMN$ đều

Vì $BH^2=BM.BA\to BM=\dfrac{BH^2}{BA}=\dfrac14a$

$\to AM=AB-BM=\dfrac34a$

$\to S_{AMN}=\dfrac{(\dfrac34a)^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9\sqrt{3}a^2}{64}$

$\to S_{OAM}=S_{OAN}=S_{OMN}=\dfrac13S_{AMN}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{64}$

Ta có  $\widehat{MON}=2\widehat{MAN}=120^o$

Bán kính $(O)$ là $R=\dfrac12AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

$\to S_{cung\quad MN}=\dfrac{120^o}{360^o}\cdot \pi R^2$

$\to S_{cung\quad MN}=\dfrac{\pi a^2}{16}$

$\to$ Diện tích phần chung giữa tam giác và hình tròn là:

$S=S_{OAM}+S_{OAN}+S_{cung\quad MN}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{64}+\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{64}+\dfrac{\pi a^2}{16}$

$\to S=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{32}+\dfrac{\pi a^2}{16}$