b)

$\Delta BKC$, $\Delta BAC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to\begin{cases}BK\bot KC\\CA\bot BE\end{cases}$

$\Delta EBC$ có

$\begin{cases}ED\text{ là đường cao }\\CA\text{ là đường cao }\\ED\text{ cắt } CA \text{ tại } F\end{cases}$

Nên $F$ là trực tâm $\Delta EBC$

$\to BF\bot EC$

$\to BK\bot EC$

Mà $BK\bot KC\,\,\,\left( cmt \right)$

Nên $EC\equiv KC$

$\to C,E,K$ thẳng hàng

c)

Ta có: $\begin{cases}\widehat{MEA}=\widehat{OCA}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ }\widehat{ABC}\right)\\\widehat{MAE}=\widehat{OAC}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ }\widehat{MAF}\right)\end{cases}$

Mà: $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ ( vì $\Delta OAC$ cân tại $O$ )

Nên: $\widehat{MEA}=\widehat{MAE}$

$\to \Delta MEA$ cân tại $M$

$\to ME=MA\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\widehat{MEA}=\widehat{MAE}\,\,\,\left( cmt \right)$

Mà: $\begin{cases}\widehat{MEA}+\widehat{MFA}=90{}^\circ\\\widehat{MAE}+\widehat{MAF}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên: $\widehat{MFA}=\widehat{MAF}$

$\to \Delta MFA$ cân tại $M$

$\to MF=MA\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được $ME=MF$

$\to M$ là trung điểm $EF$

Mà: $\Delta EAF$ lại vuông tại $A$

Nên: $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAF$