Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^o$

$\to BCMN$ nội tiếp

Lại có $\widehat{ANH}=\widehat{AMH}(=90^o)$

$\to ANHM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to ANHM$ nội tiếp $(K,\dfrac12AH)$

$\to K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHN$

b.Xét $\Delta AMB, \Delta ANC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ANC}=\widehat{AMB}(=90^o)$

$\to \Delta ANC\sim\Delta AMB(g.g)$

$\to \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AC}{AB}$

$\to AN.AB=AM.AC$

Vì $H, L$ đối xứng qua $BC$

$\to \widehat{BLC}=\widehat{BHC}=\widehat{NHM}=180^o-\hat A$

$\to \widehat{BLC}+\hat A=180^o$

$\to ABLC$ nội tiếp

$\to L\in (ABC)$

$\to L\in (O)$

c.Ta có $\widehat{NMB}=\widehat{NCB}=\widehat{HCD}=90^o-\widehat{DHC}=90^o-\widehat{AHN}=\widehat{NAH}=\widehat{NMH}=\widehat{NMB}$

$\to MB$ là phân giác $\widehat{NMD}$

$\to MH$ là phân giác $\widehat{IMD}$

Mà $MA\perp MH$

$\to MA$ là phân giác ngoài đỉnh $M$ của $\Delta MID$

$\to \dfrac{AD}{AI}=\dfrac{DH}{HI}$

$\to IH.AD=AI.DH$

d.Từ câu c

$\to \widehat{NMD}=2\widehat{NMB}=2\widehat{NCB}=2\widehat{NAD}=\widehat{NKD}$

$\to NKMD$ nội tiếp

Mà $KD\cap NM=I$

$\to IK.ID=IM.IN$

Lại có $ANHM$ nội tiếp $AH\cap MN=I\to IM.IN=IH.IA$

$\to IK.ID=IH.IA$

$\to \dfrac{IH}{ID}=\dfrac{IK}{IA}$

$\to \dfrac{ID-IH}{ID}=\dfrac{IA-IK}{IA}$

$\to \dfrac{DH}{DI}=\dfrac{AK}{IA}$

$\to AK.DI=AI.DH=IH.AD$

Ta chứng minh

$DI.DK=DH.DA$

$\to (DH+HI).DK=DH(DK+KA)$

$\to DH.DK+HI.DK=DH.DK+DH.AK$

$\to HI.DK=DH.HK$

$\to HI(AD-AK)=DH.HK$

$\to HI.AD-AK.HI=DH.HK$

$\to HI.AD=AK.HI+DH.HK$

$\to HI.AD=AK.HI+DH.AK$

$\to HI.AD=AK(HI+DH)$

$\to HI.AD=AK.DI$ (đúng)

$DI.DK=DH.DA$

$\to \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{DA}{DK}$

Mà $\widehat{IDB}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\to \Delta DBI\sim\Delta DKC(c.g.c)$

$\to \widehat{DBI}=\widehat{DKC}$

Gọi $BI\cap CK=F$

$\to \widehat{FBD}=\widehat{FKD}$

$\to FKBD$ nội tiếp

$\to \widehat{KFB}=\widehat{KDB}=90^o\to BF\perp CK$

Mà $KD\perp BC, DK\cap BF=I$

$\to I$ là trực tâm $\Delta KBC$

$\to đpcm$