Lời giải:

Xét $\triangle DNC$ và $\triangle ABC$ có:

$\begin{cases}\widehat{D} = \widehat{A} = 90^\circ\\\widehat{C}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle DNC\backsim \triangle ABC\ (g.g)$

$\Rightarrow \widehat{DNC} = \widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng)

Gọi $H,\ K$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB,\ AC$

$\Rightarrow \widehat{H} = \widehat{K} = \widehat{A} = 90^\circ$

$\Rightarrow AHDK$ là hình chữ nhật

Lại có: $AD$ là phân giác của $\widehat{HAK}$

$\Rightarrow AHDK$ là hình vuông

$\Rightarrow DH = DK$

Xét $\triangle DNK$ và $\triangle DBH$ có:

$\begin{cases}\widehat{K} = \widehat{H} = 90^\circ\\\widehat{DNK} = \widehat{DBH}\quad (\widehat{DNC} = \widehat{ABC})\\DK = DK\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle DNK = \triangle DBH$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow DN = DB$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle DBN$ vuông tại $D$ có:

$DN = DB\quad (cmt)$

$\Rightarrow \triangle DBN$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow \widehat{DBN} = 45^\circ$

Xét $\triangle BMC$ có:

$MD\perp BC\quad (gt)$

$CA\perp BM\quad (AC\perp AB)$

$MD\cap CA = N$

$\Rightarrow N$ là trực tâm của $\triangle BMC$

$\Rightarrow BN\perp MC$

Gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $MC$

$\Rightarrow \triangle BIC$ vuông tại $I$

Lại có: $\widehat{IBC} = \widehat{NBC} = 45^\circ\quad (cmt)$

Do đó: $\triangle BIC$ vuông cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{ICB} = 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{DCM} = 45^\circ$

Xét $\triangle DCM$ vuông tại $D$ có:

$\widehat{DCM} = 45^\circ\quad (cmt)$

$\Rightarrow \triangle DCM$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow DC = DM$