\(\begin{array}{l}
\quad \dfrac{a^3 + b^3}{2} \geqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\qquad \left(ĐK: a,\ b \geqslant 0\right)\\
\Leftrightarrow 4(a^3 + b^3) \geqslant (a+b)^3\\
\Leftrightarrow 4(a^3 + b^3) \geqslant a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\
\Leftrightarrow 3a^3 + b^3 \geqslant 3ab(a+b)\qquad (*)\\
\text{Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:}\\
a^3 + a^3 + b^3 \geqslant 3\sqrt{a^3.a^3.b^3} = 3a^2b\\
a^3 + b^3 + b^3 \geqslant 3\sqrt{a^3.b^3.b^3} = 3ab^2\\
\text{Cộng vế theo vế ta được:}\\
3(a^3 + b^3) \geq 3a^2b + 3ab^3 = 3ab(a+b)\\
\Rightarrow (*)\ \rm đúng\\
\Rightarrow \rm BĐT\ được\ chứng\ minh
\end{array}\)

Đáp án:

Bổ sung ĐK: $a;\ b\ge0$ 

Giải thích các bước giải:

Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.

$\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge  \bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)^3$

$⇔\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge \dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$

$⇔\dfrac{4a^3+4b^3}8\ge \dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}8$

$⇔4a^3+4b^3\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$⇔3a^3+3b^3\ge 3a^2b+3ab^2$

$⇔a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$

$⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0$

$⇔a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge0$

$⇔(a-b)(a^2-b^2)\ge0$

$⇔(a-b)^2(a+b)\ge0$ (luôn đúng với $a;\ b\ge0$)

Vậy BĐT được chứng minh.