Lời giải:

a) Ta có:

$OA\perp OB\quad (gt)$

$OA\perp OC\quad (gt)$

$\Rightarrow OA\perp (OBC)$

Tương tự, ta được:

$OB\perp OA\quad (gt)$

$OB\perp OC\quad (gt)$

$\Rightarrow OB\perp (OAC)$

$OC\perp OA\quad (gt)$

$OC\perp OB\quad (gt)$

$\Rightarrow OC\perp (OAB)$

b) Ta có:

$OA\perp (OBC)$ (câu a)

$\Rightarrow OA\perp BC$

Lại có: $AH\perp BC$ ($H$ là trực tâm $\triangle ABC$)

$\Rightarrow BC\perp (OAH)$

$\Rightarrow BC\perp OH$

Hoàn toàn tương tự:

$OB\perp (OAC)$ (câu a)

$\Rightarrow OB\perp AC$

Lại có: $BH\perp AC$

$\Rightarrow AC\perp (OBH)$

$\Rightarrow AC\perp OH$

Khi đó:

$\begin{cases}OH\perp BC\quad (cmt)\\OH\perp AC\quad (cmt)\\BC\cap AC =\{C\}\end{cases}$

$\Rightarrow OH\perp (ABC)$

c) Gọi $\{M\}=AH\cap BC$

$\Rightarrow BC\perp (OAM)\quad (BC\perp (OAH))$

$\Rightarrow BC\perp OM$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OBC$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:

$\dfrac{1}{OM^2}=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$

Mặt khác:

$OH\perp (ABC)$ (câu a)

$\Rightarrow OH\perp AM$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OAM$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:

$\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OM^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$