Lời giải:

a) Xét $∆MDC$ và $∆ABC$ có:

$\begin{cases}\widehat{C}:\ \text{góc chung}\\\widehat{M}=\widehat{A}=90^\circ\end{cases}$

Do đó: $∆MDC\backsim ∆ABC\ (g.g)$

b) Xét $∆ABH$ và $∆CAH$ có:

$\begin{cases}\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAC}$)}\\\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^\circ\end{cases}$

Do đó: $∆ABH\backsim ∆CAH\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2 = HB.HC$

c) Xét $∆ABC$ có:

$BM = MC =\dfrac12BC\quad (gt)$

$MK//AB\quad (\perp AC)$

$\Rightarrow AK = KC =\dfrac12AC$

$\Rightarrow MK$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow MK=\dfrac12AB$

Ta có:

$\widehat{MDC}=\widehat{MDK}=\widehat{HAC}$ (đồng vị)

$\widehat{HAC}=\widehat{ABH}=\widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

$\Rightarrow \widehat{MDK}=\widehat{ABC}$

Xét $∆MDK$ và $∆CBA$ có:

$\begin{cases}\widehat{MDK}=\widehat{ABC}\quad (cmt)\\\widehat{K}=\widehat{A}= 90^\circ\end{cases}$

Do đó: $∆MDK\backsim ∆CBA\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{MDK}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{MK}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{\dfrac12AB}{AC}\right)^2 = \dfrac{AB^2}{4AC^2}$

$\Leftrightarrow S_{MDK}=\dfrac{AB^2}{4AC^2}\cdot S_{ABC}$

$\Leftrightarrow S_{MDK}=\dfrac{AB^2}{4AC^2}\cdot\dfrac12AB.AC$

$\Leftrightarrow S_{MDK}=\dfrac{AB^3}{8AC}$

Ta có: $AH^2 = HB.HC$ (câu b)

$\Leftrightarrow AH^2 = 9.16$

$\Leftrightarrow AH^2 = 144$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$+)\quad AB^2 = HB^2 + AH^2$

$\Leftrightarrow AB^2 = 9^2 + 144$

$\Leftrightarrow AB^2 = 225$

$\Rightarrow AB = 15\ (cm)$

$+)\quad AC^2 = HC^2 + AH^2$

$\Leftrightarrow AC^2 = 16^2 + 144$

$\Leftrightarrow AC^2 = 400$

$\Rightarrow AC = 20\ (cm)$

Do đó:

$S_{MDK}=\dfrac{15^3}{8.20}=\dfrac{675}{32}\ (cm^2)$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: