Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pythagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{10^2-8^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{36}$

$\Rightarrow AC=6(cm)$.

b1) $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=CM$.

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta CDM$ có:

$BM=CM$ (chứng minh trên).

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (cặp góc đối đỉnh).

$MD=MA$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta ABM=\Delta CDM$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow AB=CD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{MCD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $M\in BC\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$.

Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta BCD$ có:

$AB=CD$ (chứng minh trên).

$\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$ (chứng minh trên).

$BC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABC=\Delta BCD$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng).

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ (giả thiết).

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ$ (tổng 2 góc nhọn trong $\Delta$ vuông).

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$ nên $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ACD}=90^\circ\Rightarrow CD\,\bot\,AC$.

b2) $AH\,\bot\,BC\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{EHC}=90^\circ$

Xét hai tam giác $\Delta AHC$ và $\Delta EHC$ có:

$HE=HA$ (giả thiết).

$\widehat{AHC}=\widehat{EHC}=90^\circ$

$HC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta AHC=\Delta EHC$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow AC=CE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta CAE$ cân.

b3) $\Delta AHC=\Delta EHC$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{ECH}$ (hai góc tương ứng).

Mà $H\in BC\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{BCE}$

Xét hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta BCE$ có:

$AC=CE$ (chứng minh trên).

$\widehat{ACB}=\widehat{BCE}$ (chứng minh trên).

$BC$ là cạnh chung.

$\Rightarrow\Delta ABC=\Delta BCE$ (cạnh-góc-cạnh).

Mà $\Delta ABC=\Delta BCD$ nên $\Delta BCD=\Delta BCE$

$\Rightarrow BD=CE$ (hai cạnh tương ứng).

b4) Xét hai tam giác $\Delta AMH$ và $\Delta EMH$ có:

$HE=HA$ (giả thiết).

$\widehat{AMH}=\widehat{EMH}=90^\circ$

$HM$ là cạnh chung

$\Rightarrow\Delta AMH=\Delta EMH$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow AM=ME$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta AME$ cân tại $M$
$\Rightarrow\widehat{MAE}=\widehat{AEM}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AME}}2$
$AM=ME$ mà $MD=AM$ nên $ME=MD$

$\Rightarrow\Delta DME$ cân tại $M$
$\Rightarrow\widehat{MED}=\widehat{MDE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{DME}}2$
Ta có $\widehat{AME}+\widehat{DME}=180^\circ$ (kề bù).
$\Rightarrow\widehat{AEM}+\widehat{MED}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AME}}2+\dfrac{180^\circ-\widehat{DME}}2$
$\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{180^\circ-\widehat{AME}+180^\circ-\widehat{DME}}2$
$\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{360^\circ-(\widehat{AME}+\widehat{DME})}2$ 
$\Rightarrow\widehat{AED}=\dfrac{360^\circ-180^\circ}2$
$\Rightarrow\widehat{AED}=90^\circ\Rightarrow AE\,\bot\,ED$.