$\\$

$\triangle BCD$ có :

$E,F$ là trung điểm của $BC,BD$ (gt)

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của $\triangle BCD$

$\Rightarrow EF//CD, EF=\dfrac{CD}{2}$

$\triangle ACD$ có :

$H,G$ là trung điểm của $AC, AD$ (gt)

$\Rightarrow HG$ là đường trung bình của $\triangle ACD$

$\Rightarrow HG//CD, HG=\dfrac{CD}{2}$

$EF//CD, HG//CD$ (cmt)

$\Rightarrow EF//HG$

$EF=\dfrac{CD}{2}, HG=\dfrac{CD}{2}$

$\Rightarrow EF=HG$

$HG//CD, CD\bot AI$ (cmt, gt)

$\Rightarrow HG\bot AI$

$\triangle ABC$ có :

$H,E$ là trung điểm của $AC, CB$ (gt)

$\Rightarrow HE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\Rightarrow HE//AI$ mà $HG\bot AI$ (cmt)

$\Rightarrow HG\bot HE$

Tứ giác $EFGH$ có :

$GH//EF, GH=EF$ (cmt)

$\Rightarrow EFGH$ là hình bình hành

Mà $\widehat{GHE}=90^o(GH\bot HE)$

$\Rightarrow EFGH$ là hình chữ nhật