Lời giải:

a) Ta có:

$SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều)

$\Rightarrow SO\perp BD$

mà $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông)

nên $BD\perp (SAC)$

b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\triangle SBC$ cân tại $S$ có:

$M$ là trung điểm cạnh đáy $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

$\triangle OBC$ vuông cân tại $O$ có:

$M$ là trung điểm cạnh đáy $BC$

$\Rightarrow OM\perp BC$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABCD) = BC\\SM\perp BC\quad (cmt)\\SM\subset (SBC)\\OM\perp BC\quad (cmt)\\OM\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))} = \widehat{SMO}$

Xét $\triangle SMO$ vuông tại $O$ có:

$\tan\widehat{SMO} = \dfrac{SO}{OM} = \dfrac{\sqrt{SB^2 - OB^2}}{\dfrac{AB}{2}}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SMO} = \dfrac{\sqrt{2a^2 - \dfrac{a^2}{2}}}{\dfrac{a}{2}} = \sqrt6$

$\Rightarrow \widehat{SMO} = \arctan\sqrt6 = 67,79^\circ$

a,

$ABCD$ là hình vuông nên $AC\bot BD=O$

$\Delta SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $SO$ trung tuyến.

$\to SO\bot AC$

Tương tự, $SO\bot BD$

Suy ra $SO\bot (ABCD)$

$\to SO\bot BD$

Vậy $BD\bot (SAC)$

b,

Gọi $I$ là trung điểm $BC$

$\Delta OBC$ cân tại $O$ có $OI$ là trung tuyến nên $OI\bot BC$

$\Delta SBC$ cân tại $S$ có $SI$ là trung tuyến nên $SI\bot BC$

Mà $(SBC)\cap (ABCD))=BC$

Suy ra $((SBC),(ABCD))=(SI, OI)$

$OI=\dfrac{AB}{2}=0,5a$

$AC=a\sqrt2\to OC=\dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\Delta SOC$ vuông tại $O$ có:

$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\dfrac{a\sqrt6}{2}$

$\Delta SOI$ vuông tại $O$ có:

$\tan\widehat{SIO}=\dfrac{SO}{OI}=\sqrt6$

Vậy $\tan((SBC),(ABCD))=\sqrt6$