Lời giải:

Câu 2:

Gọi $P$ là điểm trên $BD$ sao cho $BN = \dfrac23BD\qquad (1)$

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\quad \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MD}\quad (gt)\\
\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \dfrac23\overrightarrow{AD}\\
\Rightarrow AM = \dfrac23AD\qquad (2)
\end{array}\)

Từ $(1)(2)\Rightarrow MP//AB$ (định lý $Thales$)

$\Rightarrow AB//(MNP)\qquad (I)$

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}
\quad \overrightarrow{NB} = -2\overrightarrow{NC}\quad (gt)\\
\Rightarrow \overrightarrow{BN} = \dfrac23\overrightarrow{BC}\\
\Rightarrow BN = \dfrac23BC\qquad (3)
\end{array}\)

Từ $(1)(3)\Rightarrow NP//CD$ (định lý $Thales$)

$\Rightarrow CD//(MNP)\qquad (II)$

Từ $(I),(II)\Rightarrow \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{MN}$ đồng phẳng (Do 3 vector có giá song song với mặt phẳng $(MNP)$)

Câu 3:

\(\begin{array}{l}
a)\\
\quad \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2 + ax + b}{x^2 - 1} = \dfrac14\\
\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(2x + a + 2) + a + b + 2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac14\\
\Leftrightarrow \begin{cases}a + b + 2 = 0\\\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x+a+2}{x+1} = \dfrac14\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}b = -2 - a\\\dfrac{2.1 + a + 2}{1 + 1} = \dfrac14\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}b = - 2 - a\\\dfrac{a+4}{2} = \dfrac14\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}a = -\dfrac72\\b = \dfrac32\end{cases}\\
b)\\
\quad (1 - m^2)x^5 - 3x - 1 =0\qquad (*)\\
Đặt\ f(x) = (1 - m^2)x^5 - 3x - 1\\
\Rightarrow \text{$f(x)$ liên tục trên $\Bbb R$}\\
\Rightarrow \text{$f(x)$ liên tục trên $(-1;0)$}\\
\text{Ta có:}\\
f(0) = -1 <0\\
f(-1) = m^2 + 1 >0\quad \forall m\\
\Rightarrow f(0).f(-1) <0\\
\text{Dựa vào tính liên tục của hàm số, ta được}\\
f(x)\ \text{có ít nhất 1 nghiệm trên $(-1;0)$}\\
\Rightarrow (*)\ \text{luôn có nghiệm thực}
\end{array}\)