Giải thích các bước giải:

 a)   +) Xét ΔABC có 

                   AH là đường cao

              => AH ⊥ BC

             ⇒ Δ ABH vuông tại H

       +) Xét E là hình chiếu của H lên AB

             ⇒ HE ⊥ AB

            ⇒ Δ EHA vuông tại E

       +) Xét Δ ABH vuông tại H và Δ AHE vuông tại E có

                   góc BAH chung

                ⇒ Δ ABH đồng dạng với Δ AHE (g.g)

              ⇒ $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{AE}{AH}$ 

                ⇒ AH² = AB . AE (điều phải chứng minh)

     b)   +) Xét Δ ABC vuông tại A và Δ HBA vuông tạ H có

                     góc ABC chung

                  ⇒ Δ ABC đồng dạng với Δ HBA (g.g)

                  Mà Δ ABH đồng dạng với Δ AHE

                    ⇒ Δ ABC đồng dạng với Δ EHA

                    ⇒ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AH}{BC}$  (1)

           +) Chưngs minh tương tự ⇒ Δ ABC đồng dạng với ΔFAH

                                                    ⇒ $\frac{AF}{AB}$ = $\frac{AH}{BC}$  (2)

           +) Từ 1 và 2 ⇒$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AF}{AB}$

                              ⇒ Δ ABC đồng dạng với Δ AFE 

         c) +) Xét Δ ABC vuông tại A

                  ⇒ BC² = AB² + AC² ( định lý Pitago)

                t/s : BC² = 6² + 8² = 36+ 64= 100= 10²

                  ⇒ BC = 10 ( vì BC>0) 

               Mà BD+CD = BC

                  ⇒ BD+CD= 10

              +) Xét Δ ABC có

                               AD phân gíac BAC

                      ⇒$\frac{AB}{AC}$ =$\frac{BD}{CD}$ 

                      ⇒$\frac{AB}{AC}$ +1=$\frac{BD}{CD}$ +1

                      ⇒$\frac{AB+AC}{AC}$ =$\frac{BC}{CD}$ 

                     t/s: $\frac{6+8}{8}$ =$\frac{10}{CD}$ 

                    ⇒ CD= $\frac{40}{7}$ 

                    ⇒ BD= BC-CD=10- $\frac{40}{7}$ = $\frac{30}{7}$

            d) câu này minhf không biết làm