Đáp án + giải thích các bước giải:

`\sqrt{a/(a+b)}+\sqrt{b/(b+c)}+\sqrt{c/(c+a)}`

`=(\sqrt{a(b+c)(c+a)}+\sqrt{b(a+b)(c+a)}+\sqrt{c(a+b)(b+c)})/\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}`

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

`(\sqrt{a(b+c)(c+a)}+\sqrt{b(a+b)(c+a)}+\sqrt{c(a+b)(b+c)})/\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}`

`<=(\sqrt{[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)][(c+a)+(a+b)+(b+c)]})/\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}`

`=2\sqrt{((ab+bc+ca)(a+b+c))/((a+b)(b+c)(c+a))}`

`=2\sqrt{((a+b)(b+c)(c+a)+abc)/((a+b)(b+c)(c+a))}`

`=2\sqrt{1+abc/((a+b)(b+c)(c+a))}`

`<=2\sqrt{1+abc/(8abc)}`

`=3/\sqrt{2}`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`

Bài này nổi tiếng nên bonus thêm cách giải từ những cuốn sách do chính tác giả bài này viết, dưới ảnh nhé

Đáp án:

ĐPCM

Giải thích các bước giải:

BĐT `<=> \sqrt{(2a)/(a+b)}+\sqrt{(2b)/(b+c)}+\sqrt{(2c)/(c+a)}\le 3`

Áp dụng BĐT Cauchy Schwartz ta có:

`(\sqrt{(2a)/(a+b)}+\sqrt{(2b)/(b+c)}+\sqrt{(2c)/(c+a)})^2`

`= (\sqrt{(2a(a+c))/((a+b)(a+c))} + \sqrt{(2b(a+b))/((a+b)(b+c))}+\sqrt{(2c(b+c))/((b+c)(a+c))})^2`

`\le [(\sqrt{a+c})^2 + (\sqrt{a+b})^2 + (\sqrt{b+c})^2][ (\sqrt{(2a)/((a+b)(a+c))})^2 + (\sqrt{(2b)/((a+b)(b+c))})^2 + (\sqrt{(2c)/((b+c)(a+c))})^2]`

`\le (2a+2b+2c)[(2a)/((a+b)(a+c)) + (2b)/((a+b)(b+c)) + (2c)/((b+c)(a+c))]`

BĐT Cần chứng minh `<=> (2a+2b+2c)[(2a)/((a+b)(a+c)) + (2b)/((a+b)(b+c)) + (2c)/((b+c)(a+c))]\le 9`

`<=> 4 (a+b+c) . 2(ab+bc+ac)\le 9(a+b)(b+c)(a+c)`

`<=> 8(a+b+c)(ab+bc+ac)\le 9(a+b)(b+c)(a+c)`(Luôn đúng theo BĐT $8/9$)

Dấu "=" xảy ra khi: `a=b=c`