Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Tìm hệ số `m,n` sao cho `\sqrt{x^2-xy+y^2}>=mx+ny`

Với điểm rơi `x=y=z=1`

`->m.1+n.1=1`

`->m+n=1->n=1-m`

Ta cần tìm hệ số `m` sao cho `\sqrt{x^2-xy+y^2} >=mx+(1-m)y`

`<=> \sqrt{x^2-xy+y^2} >=m(x-y)+y`

`<=> \sqrt{x^2-xy+y^2} -y>=m(x-y)`

`<=> (x^2-xy)/(\sqrt{x^2-xy+y^2} +y)>=m(x-y)`

`<=> (x-y)((x)/(\sqrt{x^2-xy+y^2} +y)-m)>=0`

Với `x=y=1`

`->` Ta cần tìm `m` sao cho `m= (x)/(\sqrt{x^2-xy+y^2} +y)=1/(\sqrt{1^2-1.1+1^2}+1)=1/2`

`->n=1-1/2=1/2`

Nên ta cần chứng minh biểu thức `\sqrt{x^2-xy+y^2}  >=1/2 x+1/2 y`

`<=>2\sqrt{x^2-xy+y^2}  >= x+y`

`<=>4(x^2-xy+y^2)  >= (x+y)^2=x^2+2xy+y^2`

`<=>3(x-y)^2>=0` Luôn đúng

Hoàn toàn tương tự ta cũng có

`\sqrt{y^2-yz+z^2}  >=1/2 y+1/2 z, \sqrt{z^2-zx+x^2}  >=1/2 z+1/2 x`

Cộng vế `->A>= 1/2 x+1/2 y+1/2 y +1/2 z+1/2 z+1/2x =x+y+z=3`

Dấu `=` xảy ra `<=>x=y=z=1`

Vậy `A_(min)=3 <=>x=y=z=1`

NL: Tớ không chắc cách này áp dụng với hầu hết các bài,nên cậu tùy bài mà ứng biến nhiều cách khác nhé.

Ta có:

`x^2 - xy + y^2`

`= 1/4 x^2 + 1/2 xy + 1/4 y^2 + 3/4 x^2 - 3/2 xy + 3/4 y^2`

`= 1/4  (x+y)^2 + 3/4 (x-y)^2 ≥ 1/4  (x+y)^2`

`⇔ \sqrt{x^2 - xy + y^2} ≥ \sqrt{1/4  (x+y)^2} = 1/2 (x+y)`

Dấu $``="$ xảy ra khi: `x = y`

CM tương tự:

`\sqrt{y^2 - yz + z^2} ≥ 1/2 (y+z)`

`\sqrt{z^2 - zx + x^2} ≥ 1/2 (x+z)`

Ta có:

`A = \sqrt{x^2 - xy + y^2} + \sqrt{y^2 - yz + z^2} + \sqrt{z^2 - zx + x^2}`

`≥ 1/2 (x+y) + 1/2 (y+z) + 1/2 (x+z) = 1/2 (x+y+y+z+x+z) = x + y + z = 3`

$\\$

Vậy GTNN của `A` là `3` khi `x = y = z = 1`