a)

Tứ giác $BEDC$ có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

$\to BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to $Tâm $M$ là trung điểm cạnh $BC$

b)

$BEDC$ nội tiếp với $BC$ cắt $DE$ tại $F$

$\to FB.FC=FE.FD$

$AKBC$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $BC$ cắt $AK$ tại $F$

$\to FB.FC=FK.FA$

$\to FE.FD=FK.FA$

$\to AKED$ nội tiếp

$\to \widehat{FKE}=\widehat{FDA}$

c)

Tứ giác $AEHD$ có $\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180{}^\circ $

$\to AEHD$ nội tiếp

Mà $AKED$ cũng nội tiếp

$\to 5$ điểm $A,K,E,H,D$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{AKH}=\widehat{AEH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{AKN}=90{}^\circ $

$\to AN$ là đường kính của $\left( O \right)$

$\to AC\bot CN$ và $AB\bot BN$

Mà $AC\bot BH$ và $AB\bot CH$

$\to CN//BH$ và $BN//CH$

$\to BHCN$ là hình bình hành

Có $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ cũng là trung điểm $HN$

$\to H,M,N$ thẳng hàng

$\to K,H,M,N$ thẳng hàng

Xét $\Delta AFM$ có hai đường cao $AH,MK$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm của $\Delta AFM$

$\to FH\bot AM$