a)

Xét $\Delta AMK$ vuông tại $K$ và $\Delta AMH$ vuông tại $H$, ta có:

+   $AM$ là cạnh chung

+   $\widehat{MAH}=\widehat{MAK}$ (vì $AM$ là phân giác)

$\to \Delta AMK=\Delta AMH\left( ch-gn \right)$

b)

Vì $\Delta AMK=\Delta AMH\left( cmt \right)$

$\to AK=AH$ và $MK=MH$

$\to A,M$ thuộc đường trung trực của $HK$

$\to AM$ là đường trung trực của $HK$

$\to AM\bot HK\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AQC$ có hai đường cao $QK,CH$ cắt nhau tại $M$

$\to M$ là trực tâm của $\Delta AQC$

$\to AM\bot QC\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to HK//QC$

c)

Ta có $\Delta KMC$ vuông tại $K$

$\to \widehat{KMC}$ là góc nhọn

Mà $\widehat{KMC}$ và $\widehat{QMC}$ là hai góc kề bù

$\to \widehat{QMC}$ là góc tù

Xét $\Delta MQC$ có $\widehat{QMC}$ là góc tù

$\to \widehat{QMC}>\widehat{MQC}$

$\to QC>MC$

d)

Ta có $\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$\to \dfrac{1}{2}\widehat{ABH}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAH}$

$\to \widehat{EBH}=\widehat{MAH}$

Mà $\widehat{MAH}+\widehat{AMH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{EBH}+\widehat{AMH}=90{}^\circ $

$\to BE\bot AM$

Xét $\Delta ABM$ có hai đường cao $BE,AH$ cắt nhau tại $H$

$\to E$ là trực tâm của $\Delta ABM$