Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AEB,\Delta AFC$ có:

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$AB=AC$ vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\widehat{EAB}=180^o-\widehat{BAC}-\widehat{CAF}=90^o-\widehat{CAF}=\widehat{ACF}$

$\to \Delta ABE=\Delta CAF$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AE=CF$

b.Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, M$ là trung điểm $BC\to AM\perp BC$

Mà $\widehat{MBA}=\widehat{MCA}=45^o$

$\to \Delta AMB, \Delta AMC$ vuông cân tại $M$

$\to MB=MA=MC$

Từ câu a $\to BE=AF$

Xét $\Delta MBE, \Delta MAF$ có:

$MB=MA$

$\widehat{MBE}=\widehat{MBA}+\widehat{ABE}=45^o+\widehat{ABE}=45^o+\widehat{FAC}=\widehat{MAC}+\widehat{CAF}=\widehat{MAF}$

$BE=AF$

$\to \Delta MBE=\Delta MAF(c.g.c)$

$\to \widehat{EMB}=\widehat{AMF}, ME=MF$

$\to \widehat{EMF}=\widehat{EMA}+\widehat{AMF}=\widehat{EMA}+\widehat{BME}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to \Delta MEF$ vuông cân tại $M$

c.Xét $\Delta MBI, \Delta MAK$ có:

$\widehat{IBM}=\widehat{ABM}=45^o=\widehat{MAC}=\widehat{MAK}$

$MB=MA$

$\widehat{IMB}=90^o-\widehat{AME}=\widehat{AMK}$

$\to \Delta MBI=\Delta MAK(g.c.g)$

$\to MI=MK$

$\to \Delta MKI$ vuông cân tại $M$ vì $\widehat{IMK}=\widehat{EMF}=90^o$

$\to \widehat{MIK}=\widehat{MEF}$

$\to IK//EF$

$\to IK//(d)$

d.Lấy $N$ đối xứng với $Q$ qua $PC$

$\to QC=NC, PQ=PN$

Ta có $\widehat{QCP}=45^o-\widehat{MCQ}=30^o$

$\to \widehat{QCN}=2\widehat{QCP}=60^o$

Lại có $QC=NC\to \Delta CQN$ đều

$\to QN=QC=NC$

Ta có $\widehat{QMC}=\widehat{QCM}=15^o$

$\to \widehat{MQC}=180^o-15^o-15^o=150^o$  và $\Delta MCQ$ cân tại $Q\to QM=QC$

$\to \widehat{MQN}=360^o-\widehat{MQC}-\widehat{CQN}=150^o=\widehat{MQC}$

Xét $\Delta MQC, \Delta MQN$ có:

Chung $MQ$

$\widehat{MQC}=\widehat{MQN}$

$QC=QN$

$\to \Delta MQC=\Delta MQN(c.g.c)$

$\to MN=MC=MP$

Mặt khác $\widehat{NMQ}=\widehat{CMQ}$

$\to \widehat{PMN}=90^o-\widehat{NMC}=60^o$

$\to \Delta MNP$ đều

$\to PN=PM$

$\to PQ=PM$

$\to \widehat{PQM}=\widehat{PMQ}=90^o-\widehat{CMQ}=75^o$

$\to \widehat{PQC}=360^o-\widehat{MQC}-\wdiehat{MQP}=135^o$