Đáp án + Giải thích các bước giải:

*Phương pháp giải:

- Để xác định biểu thức có căn và phân số có nghĩa thì ta chỉ cần trả lời hai câu hỏi:

+ Trong căn lớn hơn hoặc bằng 0 chưa?

+ Ở mẫu có khác 0 không?

VD: để `(sqrt(x))/(x - 2)` có nghĩa thì ta xem trong căn là x phải lớn hơn hoặc bằng 0, tương tự ở mẫu `x - 2` phải khác `0` nên `x` khác `2`.

`=> x ≥ 0` và `x ne 2`

*Lời giải:

`2)` Để biểu thức `(1 - x)/(sqrt(x^2 - 4))` có nghĩa ⇔ $\begin{cases} x^2 - 4 ≥ 0\\\sqrt{x^2 - 4} \ne 0\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases}-2 ≤ x ≥ 2\\x \ne 2\\x \ne -2\end{cases}$ `⇔ 2 < x > 2`

Vậy: để biểu thức: `(1 - x)/(sqrt(x^2 - 4))` có nghĩa thì `2 ≤ x > 2`

*Chú thích: `-2 ≤ x ≥ 2` và `x ne 2; -2` có nghĩa là: `2 < x > 2` nên ta có thể bỏ bước `2` nhưng vì mình làm cho bạn hiểu nên câu này để bước hai có thể bỏ cũng không có gì.

$\\$ $\\$

`3)` Để biểu thức `16/(sqrt(x^2 + 6x + 9)` có nghĩa: ⇔ $\begin{cases} x^2 + 6x + 9 ≥ 0\\\sqrt{x^2 + 6x + 9}\ne 0\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} (x + 3)^2 ≥ 0\\\sqrt{(x + 3)^2}\ne 0\end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} (x + 3)^2 ≥ 0\\\sqrt{(x + 3)^2}\ne 0\end{cases}$ `<=> (x + 3)^2 ne 0 <=> x ne -3`

Vậy: để biểu thức `16/(sqrt(x^2 + 6x + 9)` có nghĩa thì: `x ne -3`

$\\$ $\\$

`4)` Để biểu thức `(x - 2)/(sqrt(2x^2 - 3x + 10)` có nghĩa: ⇔  $\begin{cases} 2x^2 - 3x + 10 ≥ 0\\\sqrt{2x^2 - 3x + 10}\ne 0\end{cases}$

- Xét `2x^2 - 3x + 10`

`= x^2 - 2x + 1 + x^2 - x + 1/4 + 35/4`

`= (x - 1)^2 + (x - 1/2)^2 + 35/4`

Mà: $\begin{cases} (x - 1)^2 ≥ 0\\(x - \dfrac{1}{2})^2 ≥ 0\end{cases}$ ⇒ `(x - 1)^2 + (x - 1/2)^2 + 35/4 > 0 ∀ x ∈ R` hay `2x^2 - 3x + 10 > 0 ∀ x ∈ R` 

*Ghi chú: vì biểu thức luôn lớn hơn `0` với mọi `x` nên `x` không có điều kiện xác định.

$\color{darkgoldenrod}{2)}\ ĐKXĐ:\ \begin{cases} \sqrt{x^2-4}\ge 0\\ \sqrt{x^2-4}\ne 0 \end{cases}$

$\Rightarrow\ \sqrt{x^2-4}>0$

$\Leftrightarrow\ x^2-4>0$

$\Leftrightarrow\ x^2>4$

$\Leftrightarrow\ \begin{cases} x>2\\x<-2 \end{cases}$

$\\$

$\color{darkgoldenrod}{3)}\ ĐKXĐ:\ \sqrt{x^2+6x+9}>0$

$\Rightarrow\ x^2+6x+9>0$

$\Leftrightarrow\ x^2+2.x.3+3^2>0$

$\Leftrightarrow\ (x+3)^2>0$

Mà $(x+3)^2\ge 0\ \forall\ x$

$\Rightarrow\ x+3\ne 0$

$\Leftrightarrow\ x\ne -3$

$\\$

$\color{darkgoldenrod}{4)}\ ĐKXĐ:\ \sqrt{2x^2-3x+10}>0$

$\Rightarrow\ 2x^2-3x+10>0$

$\Leftrightarrow\ x^2-2x+1+x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{35}{4}>0$

$\Leftrightarrow\ (x^2-2.x.1+1^2)+(x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2)+\dfrac{35}{4}>0$

$\Leftrightarrow\ (x-1)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{35}{4}>0$

Mà $\begin{cases} (x-1)^2\ge 0\ \forall\ x\\\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge 0\ \forall\ x \end{cases}$

$\Rightarrow\ ĐPCM$