`a)` $BE;CF$ là đường cao của $∆ABC$

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{BEC}=90°`

`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$

`=>\hat{BFC}=90°`

`=>\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°`

`=>BCEF` có hai đỉnh kề nhau $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông 

`=>BCEF` nội tiếp 

$\\$

`\qquad BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{HEC}=90°`

`\qquad AD`$\perp BC$ tại $D$

`=>\hat{HDC}=90°`

`=>\hat{HEC}+\hat{HDC}=90°+90°=180°`

`=>CDHE` nội tiếp (vì tổng hai góc đối $180°$)

$\\$

`b)` $CDHE$ nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{HED}=\hat{HCD}` (cùng chắn cung $HD$)

`\quad BCEF` nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{BEF}=\hat{BCF}` (cùng chắn cung $BF$)

`=>\hat{HEF}=\hat{HCD}`

`=>\hat{HED}=\hat{HEF}`

Mà tia $EH$ nằm giữa hai tia $ED$ và $EF$

`=>EH` là phân giác `\hat{DEF} `

$\\$

`\quad BCEF` nội tiếp (c/m trên)

`=>\hat{EBC}=\hat{EFC}` (cùng chắn cung $EC$)

`=>\hat{EBD}=\hat{EFH}`

$\\$

Xét $∆EBD$ và $∆EFH$ có:

`\qquad \hat{EBD}=\hat{EFH}` (c/m trên)

`\qquad \hat{BED}=\hat{FEH}` (do $EH$ là phân giác `\hat{DEF}`)

`=>∆EBD∽∆EFH` (g-g)

`=>{EB}/{EF}={ED}/{EH}`

`=>EB.EH = ED.EF`

$\\$

`c)` $MN$//$EF$

`=>\hat{EFC}=\hat{DNF}` (hai góc so le trong)

Mà `\hat{EFC}=\hat{EBC}` (do $BCEF$ nội tiếp) 

`=>\hat{EBC}=\hat{DNF}` $(1)$

$\\$

Tứ giác `BDHF` có:

`\qquad \hat{BDH}+\hat{BFH}=90°+90°=180°`

`=>BDHF` nội tiếp 

`=>\hat{HBD}=\hat{HFD}` (cùng chắn cung $HD$)

`=>\hat{EBC}=\hat{NFD}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{DNF}=\hat{NFD}`

`=>∆DNF` cân tại $D$

`=>DN=DF` $(3)$

$\\$

$\quad ∆FMN$ vuông tại $F$

`=>\hat{FMN}+\hat{MNF}=90°` (hai góc phụ nhau)

`\qquad \hat{MFN}=90°`

`=>\hat{MFD}+\hat{NFD}=90°`

$\\$

Mà `\hat{NFD}=\hat{DNF}=\hat{MNF}`

`=>\hat{MFD}=\hat{FMN}`

`=>\hat{MFD}=\hat{FMD}`

`=>∆DMF` cân tại $D$

`=>DM=DF` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>DM=DN`

Mà $M;D;N$ thẳng hàng 

`=>D` là trung điểm $MN$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

c) tứ giác BFHD có góc BFD + góc HDB = 90+90 = 180 độ

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau 

suy ra BFHD nt

suy ra góc HFD = góc HBD ( 2 góc nt cùng chắn cung HD)

mà góc HDB= góc EFH

suy ra góc HFD = góc EFH

EF//MN nên góc góc EFH = HND

suy ra góc DFN = góc DNF

suy ra tam giác DFN cân tại F 

suy ra DF=DN

có: góc MFD + góc DFN= 90 độ

     góc FMD+ góc FND = 90 độ

     góc FND= góc DFN

 suy ra góc DFM= góc FMD

suy ra tam giác DFM cân tại D

suy ra DF=DM

mà DF=DN

suy ra DM= DN

suy ra D là trung điểm MN