a)

Xét $\Delta MEF$ và $\Delta HFE$, ta có:

+   $EF$ là cạnh chung

+   $\widehat{MEF}=\widehat{HFE}$ (hai góc so le trong)

+   $\widehat{MFE}=\widehat{HEF}$ (hai góc so le trong)

$\to \Delta MEF=\Delta HFE\left( g.c.g \right)$

$\to ME=HF$ (hai cạnh tương ứng)

b)

Ta có $MF//AC$ (cùng vuông góc $BH$)

$\to \widehat{FMB}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị)

$\to \widehat{FMB}=\widehat{DBM}$

Xét $\Delta FMB$ vuông tại $F$ và $\Delta DBM$ vuông tại $D$, ta có:

+   $BM$ là cạnh chung

+   $\widehat{FMB}=\widehat{DBM}\left( cmt \right)$

$\to \Delta FMB=\Delta DBM\left( ch-gn \right)$

c)

Ta có:

+   $MD=BF$ (vì $\Delta DBM=\Delta FMB$)

+   $ME=HF\left( cmt \right)$

$\to MD+ME=BF+HF$

$\to MD+ME=BH$

Mà $BH$ không đổi

Nên tổng $MD+ME$ có giá trị không đổi

d)

Gọi $I$ là giao điểm $DK$ và $BC$

Kẻ $DG//AC$ với $G\in BC$

$\to \widehat{DGB}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị)

$\to \widehat{DGB}=\widehat{DBG}$

$\to \Delta DBG$ cân tại $D$

$\to DG=DB$

Mà $DB=FM=EH=KC$

$\to DG=KC$

Xét $\Delta DIG$ và $\Delta KIC$, ta có:

+   $DG=KC\left( cmt \right)$

+   $\widehat{DIG}=\widehat{KIC}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $\widehat{DGI}=\widehat{KCI}$ (hai góc so le trong)

$\to \Delta DIG=\Delta KIC\left( g.c.g \right)$

$\to ID=IK$ (hai cạnh tương ứng)

$\to I$ là trung điểm $DK$

$\to $Trung điểm của $DK$ nằm trên $BC$