Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $BE\cap CF=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Gọi $AG\cap BC=D\to D$ là trung điểm $BC\to DB=DC=\dfrac12BC=3$

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, D$ là trung điểm $BC\to AD\perp BC$

$\to AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to AG=\dfrac23AD=\dfrac83$

 b.Ta có: $AE=\dfrac12AC=\dfrac12AB=AF$

$\to \Delta AEF$ cân tại $A$

$\to \widehat{AEF}=90^o-\dfrac12\widehat{EAF}=90^o-\dfrac12\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$

$\to EF//BC$

Mà $AD\perp BC\to AD\perp EF\to EF\perp AG$

c.Xét $\Delta FAK,\Delta FBC$ có:

$FA=FB$

$\widehat{AFK}=\widehat{BFC}$(đối đỉnh)

$FK=FC$

$\to \Delta FAK=\Delta FBC(c.g.c)$

$\to AK=BC,\widehat{FAK}=\widehat{FBC}\to AK//BC$

Tương tự $AH//BC, AH=BC$

$\to AK=AH$

Vì $AK//BC, AH//BC\to A, H, K$ thẳng hàng

$\to HK//BC$

Ta có: $AD\perp BC\to AD\perp HK$

Mà $A$ là trung điểm $HK$

$\to DA\perp HK=A$ là trung điểm $HK$

$\to AD$ là trung trực $HK$

$\to AG$ là trung trực $HK$

`a)` Gọi `I` là giao điểm của `BC` và `AG` 

Xét $\triangle$ $ABC$ ta có $:$

$BE$ là trung tuyến $( gt )$

$CF$ là trung tuyến $( gt )$

Mà `BE nn CF = {G}`

`=> G` là trọng tâm của $\triangle$ $ABC$

`=> AI` là trung tuyến của $\triangle$ $ABC$

`=> I` là trung điểm của `BC`

`=> IB = IC = 1/2BC = 1/2 . 6 = 3` 

Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ( gt )$

Mà $AI$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( cmt )$

`=> AI` đồng thời là đường cao của $\triangle$ $ABC ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=> AI` $\bot$ $BC$ 

Xét $\triangle$ $ABC$ vuông tại $I ($ vì ` AI` $\bot$ $BC )$ ta có $:$

`AB^2 = AI^2 + IB^2 (` Định lý Pitago $)$

`=> AI^2 = AB^2 - IB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16`

`=> AI^2 = 4( cm ) ( AI > 0 )`

Vì `G` là trọng tâm của $\triangle$ $ABC ( cmt )$

`=> AG = 2/3AI = 2/3 . 4 = 8/3`

Vậy `AG = 8/3(cm)`

`b)`  Gọi `Q` là giao điểm của `EF` và `AI` 

Ta có `:` `AQ` là đường cao của $\triangle$ $AEF ($ vì AI` là đường cao của $\triangle$ $ABC )$

`=> AQ` $\bot$ $EF$

`=> AG` $\bot$ $EF$ 

`c)` Ta có `:` CF` là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> F` là trung điểm của `AB`

`=> FA = FB = 1/2AB (1)`

Vì `BE` là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

`=> E` là trung điểm của `AC`

`=> EA = EC = 1/2AC (2)`

Mà `AB = AC (` vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ) (3)$

Từ $(1) ; (2) ; (3)$

`=> FA = FB = EA = EC`

Xét $\triangle$ $KFA$ và $\triangle$ $CFB$ ta có $:$ 

$KF = FC ($ vì $F$ là trung điểm của $KC )$

$\widehat{F1}$ $=$ $\widehat{F2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$AF = BF ( cmt )`

`=>` $\triangle$ $KFA$ $=$ $\triangle$ $CFB ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{ABC}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $2$ góc này ở vị trí sole trong $)$

`=>` $AK // BC ( dhnb )$

Xét $\triangle$ $HEA$ và $\triangle$ $BEC$ ta có $:$ 

$BE = HE ($ vì $E$ là trung điểm của $BH )$

$\widehat{E1}$ $=$ $\widehat{E2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$AE = EC ( cmt )`

`=>` $\triangle$ $HEA$ $=$ $\triangle$ $BEC ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{A2}$ $=$ $\widehat{ACB}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

Mà $2$ góc này ở vị trí sole trong $)$

`=>` $AH // BC ( dhnb )$

Mà $AK // BC ( cmt )$

`=>` $\overline{A , H , K}$ $($ Tiên đề Ơ - clit $)$

Ta có `: AI` $\bot$ $HK ($ vì $AI$ $\bot$ $BC )$

Mà `IB = IC ( cmt )`

`=> AI` là tủng trực của `HK`