Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\dfrac{MN}{MQ}=\dfrac{7}{24}\\\Rightarrow MN=7k; MQ=24k (k>0)$

$\Delta MNQ$ vuông tại $M$

$\Rightarrow MN^2+MQ^2=NQ^2\\ \Rightarrow NQ=\sqrt{MN^2+MQ^2}=25k\\ MN+NQ=31\\ \Leftrightarrow 32k=31\\ \Leftrightarrow k=\dfrac{31}{32}\\ \Rightarrow MN=\dfrac{217}{32}; MQ=\dfrac{93}{4}; NQ=\dfrac{775}{32}$

$a)$ Chu vi: $\dfrac{217}{32}+\dfrac{93}{4}+\dfrac{775}{4}=\dfrac{217}{4}$

$b) S_{MNQ}=\dfrac{1}{2}MN.MQ=\dfrac{20181}{256}$

$d) \Delta MNQ$ vuông tại $M$, đường cao $MI$

$\Rightarrow MI.NQ=MN.MQ$

$\Rightarrow MI=\dfrac{MN.MQ}{NQ}=\dfrac{651}{100}$

$\Delta MIN$ vuông tại $I$

$\Rightarrow NI^2+MI^2=MN^2\\ \Rightarrow NI=\sqrt{MN^2-MI^2}=\dfrac{1519}{800}\\ IQ=NQ-NI=\dfrac{558}{25}\\ ----------------------------------------\\ \dfrac{MN}{MQ}=\dfrac{7}{24}\\ \Rightarrow MN=7k; MQ=24k (k>0)\\ MN+MQ=31\\ \Leftrightarrow 31k=31\\ \Leftrightarrow k=1\\ \Rightarrow MN=7; MQ=24$

$\Delta MNQ$ vuông tại $M$

$\Rightarrow MN^2+MQ^2=NQ^2$

$\Rightarrow NQ=\sqrt{MN^2+MQ^2}=25$

$a)$ Chu vi: $7+24+25=56$

$b) S_{MNQ}=\dfrac{1}{2}MN.MQ=84$

$b) \Delta MNQ$ vuông tại $M$, đường cao $MI$

$\Rightarrow MI.NQ=MN.MQ$

$\Rightarrow MI=\dfrac{MN.MQ}{NQ}=\dfrac{168}{25}$

$\Delta MIN $ vuông tại $I$

$\Rightarrow NI^2+MI^2=MN^2\\ \Rightarrow NI=\sqrt{MN^2-MI^2}=\dfrac{49}{25}\\ IQ=NQ-NI=\dfrac{576}{25}.$