Bài 17:

a) Ta có: $AM=AN$ $(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2})$

nên $\Delta AMN$ cân đỉnh $A$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}$

$\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat A}{2})$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $MN//BC$ (đpcm)

b) Xét $\Delta MBC$ và $\Delta NCB$ có:

$BM=CN$ $(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2})$

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$

$BC$ chung

$\Rightarrow \Delta MBC=\Delta NCB$ (c.g.c)

$\Rightarrow BN=CM$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Bài 18:

a) $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $AB=AC$ và $BM=CN$ nên

$AB-BM=AC-CN\Rightarrow AM=AN\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A

$\Rightarrow\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}$

$\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat A}{2})$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $MN//BC$ (đpcm)

b) Xét $\Delta MBC$ và $\Delta NCB$ có:

$BM=CN$ (gt)

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$

$BC$ chung

$\Rightarrow \Delta MBC=\Delta NCB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (hai góc tương ứng)

hay $\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\Rightarrow \Delta IBC$ cân đỉnh I (đpcm)

Bài 19:

Xét $\Delta$ vuông $ ANC$ và $\Delta$ vuông $ AMB$ có:

$AC=AB$

$\widehat{A}$ chung

$\Rightarrow \Delta ANC=\Delta AMB$ (ch-gn)

$\Rightarrow AN=AM$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A (đpcm)

$\Rightarrow \widehat{ANM}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}$

$\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

Suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat A}{2})$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $MN//BC$ (đpcm)

Bài 20:

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$\widehat A$ chung

$AB=AC$

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ $(=\dfrac{\widehat B}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{2})$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$ (g.c.g)

$\Rightarrow AM=AN\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A

b) $MN//BC\Rightarrow \widehat{MNE}=\widehat{ECB}$ (so le trong)

$\widehat{NME}=\widehat{EBC}$ (so le trong)

Mà $\widehat{ECB}=\widehat{EBC}$ $(=\dfrac{\widehat B}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{2})$

$\Rightarrow \widehat{MNE}=\widehat{NME}\Rightarrow \Delta EMN$ cân đỉnh $E$

Nên $EN=EM\Rightarrow E$ thuộc đường trung trực của $NM$

AM=AN $\Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của $NM$

$\Rightarrow AE$ thuộc đường trung trực của $NM$

$\Rightarrow AE\bot NM$ mà $NM//BC\Rightarrow AE\bot BC$ (1)

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$ có;

AB=AC (gt)

$AI$ chung

$BI=CI$ (I là trung điểm của $BC$)

$\Rightarrow \Delta ABI=\Delta ACI$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}$

mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$

$\Rightarrow AI\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AI//AE\Rightarrow A,E,I$ thẳng hàng (đpcm)