Giải thích các bước giải:

 Ta có:

${a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k} = 210720202021$

$ \Rightarrow $ Tổng ${a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k}$ có tận cùng là $1$ 

$ \Rightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right)\left( * \right)$

Ta chứng minh định lý sau:

$\forall a \in N:{a^5} \equiv a\left( {\bmod 10} \right)$

Thật vậy:

Ta có:

$\begin{array}{l}
{a^5} - a\\
 = a\left( {{a^4} - 1} \right)\\
 = a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\\
 = a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)
\end{array}$

Do: $a - 1,a,a + 1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên $a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) \vdots 2$

$ \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 2$

Xét các trường hợp của $a$ ta có:

$\begin{array}{l}
 + )TH1:a = 5k\left( {k \in N} \right)\\
 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 10\\
 + )TH2:a = 5k + 1\left( {k \in N} \right) \Rightarrow \left( {a - 1} \right) \vdots 5\\
 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 10\\
 + )TH3:a = 5k + 2\left( {k \in N} \right) \Rightarrow {a^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5\\
 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 10\\
 + )TH4:a = 5k + 3\left( {k \in N} \right) \Rightarrow {a^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5\\
 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 10\\
 + )TH4:a = 5k + 4\left( {k \in N} \right) \Rightarrow a + 1 = 5k + 5 \vdots 5\\
 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left( {{a^5} - a} \right) \vdots 10
\end{array}$

Như vậy: Với mọi $a\in N$ thì $\left( {{a^5} - a} \right) \vdots 10$

Hay với mọi $a\in N$ thì ${a^5} \equiv a\left( {\bmod 10} \right)$

Quay lại bài:

Áp dụng định lý trên ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a_1^5 \equiv {a_1}\left( {\bmod 10} \right)\\
a_2^5 \equiv {a_2}\left( {\bmod 10} \right)\\
a_3^5 \equiv {a_3}\left( {\bmod 10} \right)\\
...\\
a_k^5 \equiv {a_k}\left( {\bmod 10} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + ... + a_k^5 \equiv {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_k}\left( {\bmod 10} \right)\left( {**} \right)
\end{array}$

Từ $(*),(**)$$ \Rightarrow a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + ... + a_k^5 \equiv 1\left( {\bmod 10} \right)$

$ \Rightarrow a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + ... + a_k^5$ có tận cùng là $1$

Vậy $a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + ... + a_k^5$ có tận cùng là $1$