a)Ta có: $\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^o$
$\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^o$
Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cùng cộng với hai góc bằng nhau bằng 180$^o$)
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:
$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)
$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cmt)
$BM=CN$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$ (c.g.c)
$\Rightarrow Am=AN$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh A (đpcm)
 
b) $\Delta ABM=\Delta ACN\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (hai góc tương ứng)

hay $\widehat{HAB}=\widehat{KAC}$

Xét $\Delta$ vuông $ HAB $ và $\Delta$ vuông $ KAC$ có:

$AB=AC$ (giả thiết)

$\widehat{HAB}=\widehat{KAC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta HAB=\Delta KAC$ (ch-gn)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c) $AH=AK$ (hai cạnh tương ứng)

d) Xét $\Delta$ vuông $ AOH$ và $\Delta$ vuông $ AOK$ có:

$AH=AK$ (cmt)

AO chung

$\Rightarrow \Delta AOH$ và $\Delta AOK$ (ch-cgv)

$\Rightarrow OH=OK$ mà $BH=BK$ (cmt)

$\Rightarrow OH-BH=OK-CK$

$\Rightarrow OB=OC\Rightarrow \Delta OBC$ cân đỉnh O

e) $\Delta ABC$ cân đỉnh A lại có $\widehat{BAC}=60^o$ nên $\Delta ABC$ đều

Ta có: $\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{ABM}=180^o-\widehat{ABC}=180^o-60^o=120^o$

$\Delta ABM$ cân đỉnh $B$ (BM=BA=BC)

$\Rightarrow \widehat{BMA}=\widehat{BAM}=\dfrac{180^o-\widehat{ABM}}{2}$

$=\dfrac{180^o-120^0}{2}=30^o$

$\Delta OBC$ khi đó là tam giác đều vì $\Delta OBC$ cân đỉnh O có thêm $\widehat{OBC}=\widehat{HBM}=90^o-\widehat{BMA}=90^o-30^o=60^o$.