a)

Ta có: $AD=AB$ ( $ABCD$ là hình vuông )

$\to \dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}AB$

$\to AF=BH$

Xét $\Delta ABF$ vuông tại $A$ và $\Delta BCH$ vuông tại $B$, ta có:

$AB=BC$ ( $ABCD$ là hình vuông )

$AF=BH\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta ABF=\Delta BCH\,\,\,\left( cgv-cgv \right)$

$\to BF=CH$ ( hai cạnh tương ứng )

b)

Vì $\Delta ABF=\Delta BCH\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \widehat{ABF}=\widehat{BCH}$ ( hai góc tương ứng )

Mà: $\widehat{ABF}+\widehat{FBC}=90{}^\circ $

Nên: $\widehat{BCH}+\widehat{FBC}=90{}^\circ $

Hay: $\Delta IBC$ vuông tại $I$

$\to IC\bot IB$

$\to CH\bot BF$

c)

Ta có: $AD=BC$ ( $ABCD$ là hình vuông )

$\to \dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC$

$\to FD=BK$

Mà $FD\,\,||\,\,BK$ ( $ABCD$ là hình vuông )

$\to FDKB$ là hình bình hành

$\to DK\,\,||\,\,BF$

Mà $CH\bot BF\,\,\,\left( cmt \right)$

Vậy $DK\bot CH$

d)

Xét $\Delta BCN$ và $\Delta EBC$, ta có:

$\widehat{BCN}=\widehat{EBC}=90{}^\circ $

$\widehat{BNC}=\widehat{ECB}$ ( cùng phụ $\widehat{ECN}$ )

$\to \Delta BCN\backsim\Delta EBC\,\,\,\left( g.g \right)$

e)

Vì $\Delta BCN\backsim\Delta EBC\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{BC}{BE}=\dfrac{CN}{BC}$

$\to BC.BC=BE.CN$

$\to AB.CD=BE.CN$

$\to \dfrac{CD}{BE}=\dfrac{CN}{AB}\,$

Mà $\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{CN}{AB}$ ( $AB\,\,||\,\,CN$, hệ quả định lý Ta – let )

$\to \dfrac{CD}{BE}=\dfrac{CM}{BM}$

Xét $\Delta CDM$ và $\Delta BEM$, ta có:

$\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{CM}{BM}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{DCM}=\widehat{EBM}=90{}^\circ $

$\to \Delta CDM\backsim\Delta BEM\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{CMD}=\widehat{BME}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{BME}+\widehat{CME}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

$\to \widehat{CMD}+\widehat{CME}=180{}^\circ $

$\to \widehat{DME}=180{}^\circ $

$\to D,M,E$ thẳng hàng