`\qquad BE;CF` là hai đường cao của $∆ABC$

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{BEC}=90°`

`\qquad \hat{BFC}=90°`

`=>\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°`

`=>` Tứ giác $BFEC$ có hai đỉnh kề nhau $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông 

`=>BFEC` nội tiếp 

`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) $(1)$

$\\$

Tương tự $AD;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$

`=>\hat{ADC}=\hat{AFC}=90°`

`=>`Tứ giác $AFDC$ có hai đỉnh kề nhau $F;D$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc vuông 

`=>AFDC` nội tiếp 

`=>\hat{BFD}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>\hat{AFE}=\hat{BFD}`

Ta có:

`\qquad \hat{AFC}=\hat{BFC}=90°`

`=>\hat{AFE}+\hat{CFE}=\hat{BFD}+\hat{CFD}`

`=>\hat{CFE}=\hat{CFD}`

Vì tia $FC$ nằm giữa hai tia $FE$ và $FD$

`=>FC` là phân giác `\hat{DFE}`

$\\$

$\quad ∆EBC$ vuông tại $E$ có trung tuyến $EN$ (do $N$ là trung điểm $BC$)

`=>EN=NC=1/ 2 BC`

`=>∆ENC` cân tại $N$

`=>\hat{NEC}=\hat{NCE}`

Ta có:

`\qquad \hat{ENC}+\hat{NEC}+\hat{NCE}=180°`

`=>\hat{ENC}+2\hat{NCE}=180°`

`=>\hat{ENC}+2\hat{ACB}=180°` $(3)$

$\\$

Ta lại có:

`\qquad \hat{EFD}+\hat{AFE}+\hat{BFD}=180°`

`=>\hat{EFD}+2\hat{ACB}=180°` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>\hat{ENC}=\hat{EFD}`

`=>EFDN` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)