a)

$\Delta MDC$ và $\Delta MEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $MC$

$\to\begin{cases}BD\bot DC\\ME\bot BC\end{cases}$

Xét tứ giác $ABCD$, ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$

$\to ABCD$ nội tiếp được đường tròn

Xét tứ giác $ABEM$, ta có:

$\widehat{BAM}=\widehat{BEM}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BAM}+\widehat{BEM}=180{}^\circ $

$\to ABEM$ nội tiếp được đường tròn

b)

Ta có: $\begin{cases}\widehat{DAC}=\widehat{DBC}\,\,\,\left(\text{ vì ABCD nội tiếp }\right)\\\widehat{EAC}=\widehat{DBC}\,\,\,\left(\text{ vì ABEM nội tiếp }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{DAC}=\widehat{EAC}$

$\to AC$ là tia phân giác $\widehat{DAE}$

c)

Gọi $F$ là giao điểm $AB$ và $CD$

Xét $\Delta FBC$, ta có:

$\begin{cases}CA\text{ là đường cao thứ nhất }\\BD\text{ là đường cao thứ hai }\\CA\text{ cắt }BD\text{ tại } M\end{cases}$

$\to M$ là trực tâm $\Delta FBC$

$\to FM$ là đường cao thứ ba

$\to FM\bot BC$

Mà $ME\bot BC\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to FM\equiv ME$

$\to F,M,E$ thẳng hàng

Hay nói cách khác $AB,CD,ME$ cùng đi qua điểm $F$