Giải thích các bước giải:

Bài 6:

a.Ta có $(d)$ là tiếp tuyến của $(O)\to (d)\perp AB$

$\to \widehat{NAB}=\widehat{NHB}=90^o$

$\to AHBN$ nội tiếp

b.Xét $\Delta AMB, \Delta ANO$ có:

$\widehat{MAB}=\widehat{OAN}(=90^o)$

$\widehat{MBA}=\widehat{HBA}=\widehat{HNA}=\widehat{ONA}$

$\to \Delta AON\sim\Delta AMB(g.g)$

$\to \dfrac{AO}{AM}=\dfrac{AN}{AB}$

$\to AM.AN=AO.AB=2R^2$

c.Ta có $NH\perp BC, BA\perp MN$

           $NH\cap AB=O$

$\to O$ là trực tâm $\Delta MNB$

$\to MO\perp BN$

d.Ta có $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=90^o-\widehat{ABD}=90^o-\widehat{ABN}=\widehat{ANB}=\widehat{MND}$

$\to MNDC$ nội tiếp

e.Ta có $MCDN$ là hình thang

$\to CD//MN$

$\to CD\perp AB$ vì $AB\perp MN$

$\to BA$ là phân giác $\widehat{CBD}\to BA$ là phân giác $\widehat{MBN}$

Mà $BA\perp MN\to A$ là trung điểm $MN$

Do $AC//NH(\perp MB)$

$\to C$ là trung điểm $MH$

$\to CM=CH=HC=\dfrac13BM$

Gọi $CD\cap AB=E$

$\to \dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BC}{BM}=\dfrac23$

$\to  BE=\dfrac23BA=\dfrac{4R}{3}$

$\to AE=\dfrac23R$

$\to CE=\sqrt{AE.BE}=R\cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Ta có $\dfrac{CE}{AM}=\dfrac{BE}{BA}=\dfrac23$

$\to AM=\dfrac32CE=R\sqrt{2}$

$\to S_{BMN}=2S_{BAM}=BA.BM=2\sqrt{2}R^2$

Bài 7:

a.Ta có $AM$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM\perp OM$

            $I$ là trung điểm $CD\to OI\perp CD$

$\to \widehat{AMO}=\widehat{AIO}=90^o$

$\to AMOI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$\to K$ là trung điểm $AO$

b.Ta có $(K)\cap (O)=M, N$

$\to AO\perp MN\to AO$ là trung trực của $MN$

$\to \widehat{ANO}=\widehat{AMO}=90^o\to AN\perp ON$

$\to AN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO\perp MN=H$

c.Xét $\Delta ACM, \Delta ADM$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AMC}=\widehat{ADM}$ vì $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta AMC\sim\Delta ADM(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AC}{AM}$

$\to AM^2=AC.AD$

Ta có $\Delta AMO$ vuông tại $M, MN\perp AO\to MH\perp AO$

$\to AM^2=AH.AO$

$\to AC.AO=AH.AO$

d.Xét $\Delta AHC, \Delta ADO$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AC}{AO}=\dfrac{AH}{AD}$ vì $AH.AO=AC.AD$

$\to \Delta AHC\sim\Delta ADO(c.g.c)$

$\to \widehat{AHC}=\widehat{ADO}$

$\to ODCH$ nội tiếp

e.Ta có $CB\perp OM, OM\perp AM\to OB//AM$

$\to \widehat{FCI}=\widehat{MAI}=\widehat{MNI}=\widehat{FNI}$

$\to CNIF$ nội tiếp