a)

$\Delta AMH\,,\,\Delta ANH$ nội tiếp $\left( O \right)$, đường kính $AH$

$\to\begin{cases}HM\bot AB\\HN\bot AC\end{cases}$

$\Delta ABH$ vuông tại $H$, có $HM$ là đường cao

$\to A{{H}^{2}}=AB.AM$ ( hệ thức lượng )

$\Delta ACH$ vuông tại $H$, có $HN$ là đường cao

$\to A{{H}^{2}}=AC.AN$ ( hệ thức lượng )

$\to AB.AM=AC.AN$

b)

Vì $AB.AM=AC.AN\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$, ta có:

$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{BAC}$ là góc chung

$\to \Delta AMN\backsim\Delta ACB\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ ( hai góc tương ứng )

$\to BMNC$ là tứ giác nội tiếp

( góc ngoài bằng góc đối trong )

c)

Xét tứ giác $AMHN$, ta có:

$\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90{}^\circ $

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

$\to MN=HA$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AI$ là trung tuyến

$\to IA=IC$

$\to \Delta IAC$ cân tại $I$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ICA}=90{}^\circ $

Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{ANM}\,\,\,\left(\text{ vi BNMC noi tiep }\right)\\\widehat{ICA}=\widehat{IAC}\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$

$\to \widehat{ANM}+\widehat{IAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta ADN$ vuông tại $D$

Ta có: $\widehat{AMD}=\widehat{ACB}$ ( vì $BMNC$ nội tiếp )

Mà: $\widehat{ACB}=\widehat{BAH}$ ( cùng phụ $\widehat{ABC}$ )

Nên: $\widehat{AMD}=\widehat{BAH}$

Xét $\Delta ADM$ và $\Delta BHA$, ta có:

$\widehat{ADM}=\widehat{BHA}=90{}^\circ $

$\widehat{AMD}=\widehat{BAH}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \Delta ADM\backsim\Delta BHA\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AD}{HB}=\dfrac{DM}{HA}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,\Delta ADN\backsim\Delta CHA\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AD}{HC}=\dfrac{DN}{HA}$

Cộng vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{AD}{HB}+\dfrac{AD}{HC}=\dfrac{DM}{HA}+\dfrac{DN}{HA}$

$\to AD\left( \dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC} \right)=\dfrac{MN}{HA}$

$\to AD\left( \dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC} \right)=\dfrac{HA}{HA}$

$\to AD\left( \dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC} \right)=1$

$\to \dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC}$