a)

Vì M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$, $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$ 

-->  $\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$ = $\mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown}$ = $\mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown}$

Xét (O)

$\widehat{ACM} = \widehat{BCM} $ (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau$

---> $CI$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$

Tương tự trong (O) có $ \widehat{BAN} = \widehat{CAN}$

---> $AI$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

Xét $\Delta ABC$ có 

$CI $ là đường phân giác 

$AI$ là đường phân giác

--> I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

--> BI là tia phân giác $\widehat{ABC}$

Gọi F là giao điểm của $BI$ và $(O)$

Xét (O) có

$\widehat{BIN} = \frac{1}{2} sđ ((\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown} + \mathop{BN}\limits^{\displaystyle\frown} = \frac{1}{2} sđ (\mathop{CF}\limits^{\displaystyle\frown} + \mathop{CN}\limits^{\displaystyle\frown}) = \frac{1}{2} sđ \mathop{FN}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà $\widehat{FBN} = \frac{1}{2} sđ \mathop{FN}\limits^{\displaystyle\frown}$

--> $\widehat{BIN} = \widehat{IBN}$
==> $\Delta BNI$ cân tại N

Gọi $G$ là giao điểm của BI và MN

Xét (O) có

$\widehat{ANM} = \widehat{MNB} $ (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau$

Xét $\Delta BIN$ cân tại N có

$NG$ là đường phân giác 

--> NK là đường trung trực của IB

--> KI = KB

--> $\widehat{KIB} = \widehat{KBI}$

Mà $\widehat{ABF} = \widehat{FBC}$

--> $\widehat{KIB} = \widehat{IBC}$

Lại có chúng ở vị trí slt

==> $IK // BC$