Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CI$ là đường kính của $(O)$

$\to CP\perp PI$

$\to \widehat{CPK}=\widehat{CBK}(=90^o)$

$\to CBKP$ nội tiếp

b.Xét $\Delta ACI, \Delta BCK$ có:

$\widehat{IAC}=\widehat{CBK}(=90^o)$

$\widehat{ICA}=180^o-\widehat{ICK}-\widehat{KCB}=90^o-\widehat{KCB}=\widehat{CKB}$

$\to \Delta ACI\sim\Delta BKC(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{BK}=\dfrac{AI}{BC}$

$\to AI.BK=AC.CB$

c.Ta có $PCAI, PKBC$ nội tiếp

$\to \widehat{PAB}=\widehat{PAC}=\widehat{PIC}=\widehat{KIC}$

      $\widehat{PBA}=\widehat{PBC}=\widehat{PKC}=\widehat{IKC}$

$\to \Delta CIK\sim\Delta PAB(g.g)$

$\to \widehat{APB}=\widehat{ICK}=90^o$

$\to \Delta PAB$ vuông tại $P$

d.Ta có $\widehat{IAB}=\widehat{KBA}=90^o$

$\to ABKI$ là hình thang vuông

Từ câu b ta có $AI.BK=AC.CB$

$\to BK=\dfrac{AC.CB}{AI}$

$\to S_{ABKI}=\dfrac12AB.(AI+BK)$

$\to S_{ABKI}=\dfrac12AB.(AI+\dfrac{AC.CB}{AI})$

$\to S_{ABKI}\le \dfrac12AB.(AI+\dfrac{\dfrac14(AC+CB)^2}{AI})$

$\to S_{ABKI}\le \dfrac12AB.(AI+\dfrac{\dfrac14AB^2}{AI})$

Dấu = xảy ra khi $AC=CB\to C$ là trung điểm $AB$