a)

$\Delta ACB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to CA\bot CB$

Xét tứ giác $IECB$, ta có:

$\widehat{EIB}=\widehat{ECB}=90{}^\circ $

$\to \widehat{EIB}+\widehat{ECB}=180{}^\circ $

$\to IECB$ là tứ giác nội tiếp

b)

Vì dây cung $MN$ vuông góc đường kính $AB$

$\to A$ là điểm chính giữa cung $MN$

$\to \overset\frown{AM}=\overset\frown{AN}$

$\to \widehat{ACM}=\widehat{AME}$

Xét $\Delta ACM$ và $\Delta AME$, ta có:

$\widehat{ACM}=\widehat{AME}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{MAC}$ là góc chung

$\to \Delta ACM\backsim\Delta AME\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AC}{AM}=\dfrac{AM}{AE}$

$\to A{{M}^{2}}=AE.AC$

c)

Vì $A{{M}^{2}}=AE.AC\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$

$\Delta AMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to AM\bot MB$

Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$

$\to AM\bot MK$

Mà $AM\bot MB\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to MK\equiv MB$

$\to M,K,B$ thẳng hàng

Khi đó khoảng cách từ $N$ đến đường  tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ là đoạn $NK$ phải nhỏ nhất

$NK$ nhỏ nhất khi $NK\bot MB$

Vậy $C$ là giao điểm của $\left( O \right)$ và $\left( K \right)$ sao cho $NK\bot MB$ thì $NK$ nhỏ nhất