4)

Xét $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $BM,CN$ cắt nhau tại $G$

$\to G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\to AG$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

Mà $\Delta ABC$ lại cân tại $A$

Nên $AG$ cũng đồng thời là đường cao

$\to AG\bot BC$ tại $H$

5)

$H$ là trung điểm $BC\to BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$

$\to A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$

$\to A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}$

$\to A{{H}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=144$

$\to AH=12cm$

$\to GH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{1}{3}\cdot 12=4cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta BGH$ vuông tại $H$

Ta có $B{{G}^{2}}=B{{H}^{2}}+G{{H}^{2}}$

$\to B{{G}^{2}}={{5}^{2}}+{{4}^{2}}=41$

$\to BG=\sqrt{41}cm$

$\to BM=\dfrac{2}{3}BG=\dfrac{2\sqrt{41}}{3}cm$

6)

Xét $\Delta BCK$, ta có:

+  $M$ là trung điểm $BK$

+   $MO=\dfrac{1}{3}MC$

$\to O$ là trọng tâm của $\Delta BCK$

$\to KO$ đi qua trung điểm $BC$

$\to K,O,H$ thẳng hàng

7)

Xét $\Delta ABC$ có $N,M$ là trung điểm $AB,AC$

$\to NM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to NM//BC$

Vì $O$ là trọng tâm $\Delta BCK$

Và $BO$ cắt $CK$ tại $I$

$\to I$ là trung điểm $KC$

Xét $\Delta KBC$ có $M,I$ là trung điểm $KB,KC$

$\to MI$ là đường trung bình của $\Delta KBC$

$\to MI//BC$

$\to NM\equiv MI$

$\to N,M,I$ thẳng hàng

8)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MCK$, ta có:

+   $MA=MC$

+   $\widehat{AMB}=\widehat{CMK}$

+   $MB=MK$

$\to \Delta MAB=\Delta MCK\left( c.g.c \right)$

$\to AB=CK$

$\to AB+BC=CK+BC$

Mà $CK+BC>BK$

$\to AB+BC>BK$

$\to AB+BC>2BM$

$\to AB+BC>3BG$

$\Delta ACH$ vuông tại $H\to AC>AH$

Vậy $AB+AC+BC>AH+3BG$