a)

Xét $\Delta DEF$ và $\Delta HED$, ta có:

$\widehat{DEF}$ là góc chung

$\widehat{EDF}=\widehat{EHD}=90{}^\circ $

$\to \Delta DEF\backsim\Delta HED\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{DE}{EH}=\dfrac{EF}{DE}$

$\to D{{E}^{2}}=EH.EF$

b)

Xét $\Delta DEH$ và $\Delta DQE$, ta có:

$\widehat{QDE}$ là góc chung

$\widehat{DHE}=\widehat{DEQ}=90{}^\circ $

$\to \Delta DEH\backsim\Delta DQE\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{DE}{DQ}=\dfrac{DH}{DE}$

$\to D{{E}^{2}}=DH.DQ$

Mà $D{{E}^{2}}=EH.EF\,\,\,\left( cmt \right)$

Vậy $DH.DQ=EH.EF$

c)

Ta có: $\widehat{QEB}=\widehat{HEB}$ ( vì $EB$ là tia phân giác $\widehat{HEQ}$ )

Mà: $\begin{cases}\widehat{QEB}+\widehat{DEB}=90{}^\circ\\\widehat{HEB}+\widehat{DBE}=90{}^\circ\end{cases}$

$\to \widehat{DEB}=\widehat{DBE}$

$\to \Delta DEB$ cân tại $D$

Có $DA$ là phân giác

Nên $DA$ cũng là đường cao

$\to DA\bot EB$

Xét $\Delta DEB$, ta có:

$\begin{cases}DA\text{ là đường cao thứ nhất }\\EH\text{ là đường cao thứ hai }\\ DA\text{ cắt }EH\text{ tại }A\end{cases}$

Nên $A$ là trực tâm $\Delta DEB$

$\to BA$ là đường cao thứ ba

$\to BA\bot DE$