a)

Xét tứ giác $BCEF$, ta có:

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$

$\to BCEF$ là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác $CDHE$, ta có:

$\widehat{CDH}=\widehat{CEH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{CDH}+\widehat{CEH}=180{}^\circ $

$\to CDHE$ là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\,\,\,\left(\text{ vì CDHE là tứ giác nội tiếp }\right)\\\widehat{FEH}=\widehat{DCH}\,\,\,\left(\text{ vì BCEF là tứ giác nội tiếp }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{DEH}=\widehat{DFH}$

$\to EH$ là tia phân giác $\widehat{DEF}$

Xét $\Delta EBD$ và $\Delta EFH$, ta có:

$\widehat{BED}=\widehat{FEH}$ ( vì $EH$ là tia phân giác $\widehat{DEF}$ )

$\widehat{EBD}=\widehat{EFH}$ ( vì $BCEF$ là tứ giác nội tiếp )

$\to \Delta EBD\backsim\Delta EFH\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{EB}{EF}=\dfrac{ED}{EH}$

$\to EB.EH=ED.EF$

c)

Chứng minh hoàn toàn tương tự câu a,b

Ta được: $FH$ là tia phân giác $\widehat{EFD}$

$\to \widehat{EFH}=\widehat{DFH}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{EFH}+\widehat{AFE}=90{}^\circ\\\widehat{DFH}+\widehat{DFM}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên: $\widehat{AFE}=\widehat{DFM}$

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{DNF}=\widehat{EFH}\,\,\,\left(\text{ vì MN song song EF }\right)\\\widehat{DFN}=\widehat{EFH}\,\,\,\left(\text{ vì FH là tia phân giác góc EFD }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{DNF}=\widehat{DFN}$

$\to \Delta DNF$ cân tại $D$

$\to DF=DN\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\begin{cases}\widehat{DFM}=\widehat{AFE}\,\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{DMF}=\widehat{AFE}\,\,\,\left(\text{ vì MN song song EF }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{DFM}=\widehat{DMF}$

$\to \Delta DMF$ cân tại $D$

$\to DF=DM\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\to DN=DM$

$\to D$ là trung điểm $MN$

chứng minh D là trung điểm của MN:

Mà góc F1 = góc N1 (so le trong) => góc F2 = góc N1 =>Tam giác DFN cân tại D => DF = DN (1)

góc F2 + góc F3 = 90 độ ; góc N1 + góc M = 90 độ ( tam giác MFN vuông tại F )

=> góc F3 = góc M => tam giác DFM cân tại D => DF = DM (2)

Từ (1), (2) => DM = DN => D là trung điểm của MN